Определители и системы линейных уравненийРефераты >> Математика >> Определители и системы линейных уравнений
является следствием исходной системы (3.19).
В дальнейшем мы отдельно рассмотрим два случая:
1) когда определитель системы 
отличен от нуля,
2) когда этот определитель равен нулю.
|
0. Тогда из системы (3.23) мы сразу получаем формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера: 
= 
/ , 
= 
/, 
= 
/.
Полученные нами формулы Крамера дают решение системы (3.23) и потому доказывают единственность решения исходной системы (3.19), ибо система (3.23) является следствием системы (3.19), и всякое решение системы (3.19) обязано быть решением и системы (3.23).
Итак, мы доказали, что если у исходной системы (3.19) существует при 0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (3.24).
Чтобы доказать, что решение в самом деле существует, мы должны подставить в исходную систему (3.19) на место х, у и z их значения, определяемые формулами Крамера (3.24), и убедиться в том, что все три уравнения (3.19) обращаются при этом в тождества. Убедимся, например, что первое уравнение (3.19) обращается в тождество при подстановке значений х, у и z, определяемых формулами Крамера (3.24). Учитывая, что
= 
+ 
+ 
, = 
+ 
+ 
,
= 
+
+
,
получим, подставив в левую часть первого из уравнений (2.19) значения , 
и 
, определяемые формулами Крамера:
+
+
= 
+
+
=
= 
.
Группируя внутри фигурной скобки члены относительно A,, А2 и Л3, получим, что:
++=
.
В силу свойства 9 в последнем равенстве обе квадратные скобки равны нулю, а круглая скобка равна определителю . Таким образом, мы получим ++ = 
, и обращение в тождество первого уравнения системы (3.19) установлено. Аналогично устанавливается обращение в тождество второго и третьего уравнений (3.19).
Мы приходим к следующему выводу: если определитель системы (3.19) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой системы, определяемое формулами Крамера (3.24).
2.2. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными
|
