Определители и системы линейных уравнений

Рефераты >> Математика >> Определители и системы линейных уравнений

=

имеет три одинаковых столбца, определители , и получаются путем замены одного из этих столбцов свободными членами и, стало быть, имеют по два одинаковых столбца. В силу свойства 3 все эти определители равны нулю.

Докажем теперь, что если система (3.19) с определителем , равным нулю, имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесчисленное множество различных решений.

Предположим, что указанная система имеет решение , , . Тогда справедливы тождества

+ = ,

++= .

Вычитая почленно из уравнений (3.19) тождества (3.34), получим систему уравнений

эквивалентную системе (3.19). Но система (3.35) является однородной системой трех линейных уравнений относительно трех неизвестных , и с определителем , равным нулю. Согласно разд. 2.3 последняя система (а стало быть, и система (3.19)) имеет бесчисленное множество решений. Например, в случае, когда отличен от нуля минор (3.27), мы с помощью формул (3.31) получим следующее бесконечное множество решений системы (3.19):

, ,

(t принимает любые значения).

Сформулированное утверждение доказано, и мы можем сделать следующее заключение: если = = = = 0, то неоднородная система уравнений (3.19) либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество.

3. Понятие об определителях любого порядка и о линейных системах с любым числом неизвестных

Установленное нами свойство разложения определителя третьего порядка до элементам любой (например, первой) строки может быть положено в основу последовательного введения по индукции определителя четвертого, пятого и всех последующих порядков.

Предположим, что нами уже введено понятие определителя порядка (n-1), и рассмотрим произвольную квадратную матрицу состоящую из элементов

Назовем минором любого элемента матрицы (3.36) уже введенный нами определитель порядка (n-1), отвечающий матрице (3.36), у которой удалены i-я строка и j-й столбец. Договоримся обозначать минор элемента символом .

Например, минор любого элемента первой строки матрицы (3.36) является следующим определителем порядка (n-1):

Назовем определителем порядка n, отвечающим матрице (3.36), число , равное сумме

и обозначаемое символом

Заметим, что при n = 3 разложение (3.37) совпадает с разложением (3.16) определителя третьего порядка по первой строке.

Рассмотрим теперь неоднородную систему n уравнений с n неизвестными: