Непосредственно из выражения для определителя (3.12) и из того, что каждое слагаемое в правой части (3.12) содержит один и только один элемент из каждой строки (из каждого столбца), вытекают следующие равенства:

=++, =++, =++.

Эти равенства выражают следующее свойство определителя: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца).

Равенства (3.14) принято называть разложением определителя по элементам соответственно первой, второй или третьей строки, а равенства (3.15) — разложением определителя по элементам соответственно первого, второго или третьего столбца.

Введем теперь важное понятие минора данного элемента определителя Минором данного элемента определителя n-го порядка (в нашем случае n = 3) называется определитель (n-1)-го порядка, получаемый из данного определителя путем вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со таком «плюс», если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, есть число четное, и со знаком «минус» — в противном случае.

Таким образом, соответствующие алгебраическое дополнение и минор могут отличаться только знаком.

Следующая таблица дает наглядное представление о том, каким знаком связаны соответствующие алгебраическое дополнение и минор:

Установленное правило позволяет в формулах (3.14) и (3.15) разложения определителя по элементам строк и столбцов всюду вместо алгебраических дополнений писать соответствующие миноры (с нужным знаком).

Так, например, первая из формул (3.14), дающая разложение определителя по элементам первой строки, принимает вид

В заключение установим следующее фундаментальное свойство определителя.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого {другого) столбца равна величине этого определителя (равна нулю).