Сообщается формула площади квадрата и дается объяснение названия второй степени числа, как квадрата числа.

Вводятся единицы измерения площадей земельных участков

Прямоугольный параллелепипед

Понятие прямоугольного параллелепипеда вводится на конкретных примерах: классная комната, коробка конфет, кирпич.

По рисунку вводятся все основные составляющие параллелепипеда.

Понятие куба вводится, как частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все ребра равны.

На рисунке изображена коробка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, если ее разрезать по вертикальным ребрам и развернуть, то получится развертка прямоугольно параллелепипеда, тоже изображена на рисунке.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Единицы объема

Все понятия, связанные с данным пунктам вводятся аналогично и в той же последовательности, как и площадь прямоугольника.

Арифметика 6 класс

Глава 5

Длина отрезка

Ранее уже вводилось понятие длины отрезка, но только в том случае, когда его длина выражалась рациональным числом. В этом пункте дано понятие длины произвольного отрезка, которая может выражаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Итог: произвольный отрезок АВ имеет длину а – положительное число. Верно и обратное утверждение: если дано положительное число а, то можно указать отрезок АВ, длина которого равна этому числу.

Длина окружности. Площадь круга

Вводится число пи и обосновывается причина использования его приближенного значения, постоянное число, равное отношению длины окружности к длине ее диаметра.

Формула длины окружности получается на основе определения числа пи, а формула площади круга приводится без доказательства.

Далее рассматривается пример на использование полученных формул.

Координатная ось

Ранее вводилось понятие координатной оси. Но там рассматривались только рациональные точки, т.е. точки, имеющие рациональные координаты х, и ось была «дырявая» - без иррациональных точек. Однако координата х произвольной точки координатной оси есть, вообще говоря, действительное число, т.е. оно может быть рациональным или иррациональным. Этот вопрос и был выяснен на основании общего понятия длины отрезка, введенного ранее. Теперь координатная ось перестала быть «дырявой» - каждой ее точке соответствует действительное число (взаимно однозначное соответствие между точками оси х и действительными числами).

Декартова система координат на плоскости

Декартова система координат вводится на основе двух осей координат, расположенных под прямым углом, ось х и ось у (позднее сообщается, что можно обозначить оси и другими буквами), с точкой пересечении О., являющейся начальной точкой для каждой из осей.

Затем вводятся координаты точки на конкретном примере, по рисунку, и координатные четверти.

4. В.Г. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин, Математика 5 класс

Глава 1. Линии и углы

§1. Линии

Разнообразный мир линий

На интуитивном уровне вводится понятие линии: если мы ведем карандашом по поверхности, то рисуем линию. Объясняется происхождение термина линия ( от латинского слова linea – лен, льняная нить, веревка).

Сообщается, что существует множество видов линий и рассматриваются следующие из них: замкнутая и не замкнутая ( на основе того можно линию обвести карандашом или нет); самопересекающаяся линия и линия без самопересечений.

На основе рисунка вводятся такие понятия как внутренняя и внешняя области и граница.

Главные линии: прямая и окружность

Понятие линий и их видов учащимся уже знакомо. На интуитивном уровне и вводится понятие прямой. Рассматриваются ее свойства как линии и возможности ее получения.

Далее, аналогичным способом вводится понятие окружности и круга, и их составляющие элементы.

Части прямой. Ломаная

Учащиеся знакомятся с понятием луча: точка О на прямой АВ делит ее на две части – лучи ОА и ОВ.

Если несколько, не лежащих на одной прямой, точек соединить отрезками, то мы получим ломаную. Вводятся элементы ломаной: вершины, стороны (звенья).

Длина линии

Отрезки можно сравнивать друг с другом. Если отрезки расположены на одном листе бумаги, то это легко сделать с помощью циркуля. Но это не всегда удобно. Другой способ – сравнить длины отрезков. Длину можно найти, если измерить отрезок, а для этого нужны единицы измерения. Вводятся единицы измерения. Сообщается, что для измерения длин отрезков используется линейка.

§2. Углы

Как обозначают и сравнивают углы

Проведем на плоскости два луча АВ и АС с общим началом в точке А. Часть плоскости, ограниченная этими лучами, называется углом.

Углы так же как и отрезки можно сравнивать. Для этого используется наложение одного угла на другой.

Вводится понятие биссектрисы, как луча, который делит угол на два равных угла.

Далее вводятся виды углов в сравнении с прямым, но не используя градусную меру.

Измерение углов

Вводится понятие градуса, и уже через градусную меру рассматриваются виды углов.

Учащиеся знакомятся с новым измерительным прибором- транспортиром.

Глава 3. Многоугольники

§1. Прямоугольники и треугольник

Ломаные и многоугольники

Замкнутая ломаная линия без самопересечений, которой четыре вершины называется четырехугольником. Четырехугольник это один из видов многоугольников.

Вводятся элементы фигуры: вершины, стороны, углы, диагональ.

Прямоугольники

Четырехугольники бывают различных видов, среди них один, уже хорошо знакомый ребятам – прямоугольник. Прямоугольник – это четырех угольник, у которого все углы прямые.

У прямоугольника противоположные стороны равны, а две другие (смежные) стороны могут быть различны.

Если же у прямоугольника все стороны равны, то он называется квадратом. Т.о., всякий квадрат является прямоугольником.

Треугольники и их виды

Самым простым многоугольником является треугольник.

Далее рассматриваются все виды треугольников:

Равнобедренный (равные стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием), а треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Вид треугольника определяется не только числом равных сторон, но и величиной углов: прямоугольный, тупоугольный, остроугольный (виды углов ученикам уже знакомы).

§2. Площади

Площадь прямоугольника

Отрезки и углы дети уже умеют сравнивать, причем двумя способами: геометрическим- наложением и арифметическим – с помощью измерения. Ставится вопрос о сравнении прямоугольников, на который дает ответ понятие площади.

Вводятся единицы измерения площади и определение площади, а далее формулы площади для прямоугольника и квадрата.

Единицы площади

Вводятся новые единицы измерения, предназначенные для измерения площадей земельных участков: ар и гектар.

Глава 5. Многогранники

§1. Геометрические тела

Предметы и их форы

Математики изучают не предметы, а их формы. Вместо предметов они рассматривают геометрические тела: цилиндр, шар, конус и т.д.