3. Из прямоугольника 10х7 клеток вырезали прямоугольник 1х6 , как показано на рисунке. Разрежьте полученную фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

4. Из прямоугольника 8х9 клеток вырезали закрашенные фигуры, как показано на рисунке. Разрежьте полученную фигуру на две равные части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник 6х10.

5. На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5х5 клеток. Покажите, как разрезать его по сторонам клеток на 7 различных прямоугольников.

6. Разрежьте квадрат 13х13 на 5 прямоугольников по сторонам клеток так, чтобы все десять чисел, выражающих длины сторон прямоугольников, были различными целыми числами.

7. Разделите фигуры, изображенные на рисунке, на две части. (Разрезать можно не только по линиям клеток, но и по их диагоналям.)

8. Разрежьте фигуры, изображенные на рисунке, на четыре равные части.

2.4 Задачи на разрезание треугольника

Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома Х века, жившего в Багдаде. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале ХХ века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри Э. Дьюдени.

В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.

Вместе с тем, задачи на разрезание не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьезных математических задач.

Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

1. Можно ли провести разрез произвольного треугольника так, чтобы получить два треугольника?

2. Можно ли провести разрез треугольника так, чтобы получить три треугольника?

3. Можно ли провести два разреза треугольника, чтобы получить три треугольника?

4. Можно ли проведением двух разрезов треугольника получить четыре треугольника?

5. Можно ли провести два разреза треугольника так, чтобы получить пять треугольников?

6. Как нужно провести два разреза треугольника, чтобы получить шесть треугольников?

7. Можно ли двумя разрезами разбить треугольник на семь треугольников?

8. Можно ли двумя разрезами разбить треугольник на восемь треугольников?

9. Какое количество треугольников можно получить при проведении трех разрезов данного треугольника?

10. Сколько треугольников изображено на рисунке? Назовите их.

11. Сколько углов вы видите на рисунке? Назовите их.

12. Сосчитайте сколько треугольников изображено на рисунке?

Схема рассуждений

Цепочка задач построена таким образом, что при переходе к каждой последующей фигуре увеличивается число искомых треугольников (принцип нарушается при переходе от случая «в» к случаю «г», но в случае «г» усложняется «геометрический фон», т.е. появляются такие взаимопроникающие треугольники, которые состоят, например, из треугольника и четырехугольника, а в случае «в» все взаимопроникающие треугольники можно рассматривать состоящими только из треугольников).

Оценка выполнения задания

Случай «а»

1) Если учащийся увидел большой треугольник, состоящий из двух маленьких, т.е. всего три треугольника, то он получает 1 балл.

2) Если учащийся не видит какой-либо из трех треугольников, то он получает 0 баллов.

Случай «б»

На данном рисунке изображен большой треугольник, состоящий из трех маленьких, всего четыре треугольника. Такое решение оценивается в 1 балл.

Случай «в»

Схема рассуждений и ход решения

1. Сосчитаем все маленькие треугольники, их всего шесть

2. Сосчитаем треугольники, состоящие из двух маленьких, их всего три

3. Сосчитаем треугольники, состоящие из трех маленьких, их всего шесть

4. Треугольник, состоящий из шести маленьких треугольников – 2

Всего получилось 16 треугольников

Оценка выполнения задания

1) Учащиеся сосчитали (увидели) все взаимопроникающие треугольники, подсчет вели с помощью алгоритма – 2 балла.

2) Задача решалась без применения алгоритма (какие треугольники учащийся увидел, такие и сосчитал, но нашел больше семи треугольников – 1 балл).

3) Учащийся при решении насчитал меньше семи треугольников, т.е. не увидел взаимопроникающих треугольников, - оценка 0 баллов.

Случай «г»

Схема рассуждений и ход решения

1) Сосчитаем треугольники в «нижней» части рисунка, их всего шесть, причем все они состоят только из треугольников.

2) Добавляем «верхнюю» часть, получаем треугольники, состоящие из треугольников и четырехугольника.

Всего получилось: (3+2+1)+(3+2+1)=12 треугольников.

Оценка выполнения задания

1) Учащийся подсчитал все треугольники с помощью алгоритма (выбор алгоритма значения не имеет) – оценка 3 балла.

2) Учащийся применил для решения алгоритм, не позволяющий выделить все имеющиеся на рисунке треугольники – оценка 2 балла.

3) Учащиеся, не увидевшие взаимопроникающих треугольников, получают 1 балл.

4) Учащиеся, увидевшие на рисунке меньше семи треугольников, получают 0 баллов.

13. Сосчитайте число треугольников, изображенных на рисунке.