Пример 21. Подбрасываем 1 раз кубик. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , и две функции из Ω в заданы так: ξ(ω)= ω , η(ω)= ω2.

Если Ψ есть множество всех подмножеств Ω, то ξ и η являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит Ψ, в том числе и {ω: ξ(ω) < x} или {ω: η (ω) < x} . Можно записать соответствие между значениями случайных величин ξ и η вероятностями принимать эти значения в виде «таблицы распределения вероятностей» или, коротко, «таблицы распределения»:

Здесь 1/6 = Р(ξ=1)=…= Р(ξ=6) = Р(η =1)= …= Р(η =36)

Пусть σ -алгебра событий Ψ состоит всего из четырех множеств:

Ψ = { Ω ,Æ, {1,3,5},{2,4,6} }

то есть событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного (соответственно, нечетного) числа очков. Убедимся, что при такой «бедной» σ -алгебре ни ξ, ни η не являются случайными величинами, так как эти функции не Ψ - измеримы. Возьмем (например) x = 3,967. Видим, что

{ω Î Ω: ξ(ω) < 3,967}= {1, 2, 3}Ï Ψ и {ω Î Ω: η (ω) < 3,967}= {1}Ï Ψ

Теперь попробуем понять, зачем нужна Ψ - измеримость и почему требуется, чтобы {ω: ξ(ω) < x} являлось событием.

Если задана случайная величина ξ, нам может потребоваться вычислить вероятности типа

P(ξ = 5) = P{ω: ξ(ω) = 5},

P (ξ Î [-3,7]),

P(ξ ³ 3,2),

P(ξ > 0)

(и вообще самые разные вероятности попадания в различные множества на прямой). Это возможно только если множества, стоящие под знаком вероятности, являются событиями (напомню, что вероятность есть функция из σ - алгебры событий в [0,1]).

Но если потребовать, чтобы Ax = {ω: ξ(ω) < x} было событием при любом x, то мы из свойств σ - алгебры сразу получим, что

и — событие, и — событие,

и — событие,

и {ω: ξ(ω) = x}= Bx \ Ax — событие, (7)

и т.д., и т.п. (операции пересечения, объединения, дополнения событий не выводят из класса событий).

Можно потребовать в определении 23 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал: (ω: ξ(ω) Î [a, b]) для любых a < b.

Или чтобы {ω: ξ(ω) ³ x} было событием для любого x. Любое такое определение эквивалентно исходному.

Опишем различные типы распределений случайных величин. Под распределением случайной величины мы будем понимать соответствие

«значение случайной величины ↔ вероятность принимать это значение»,

либо (чаще)

«множество на прямой ↔ вероятность случайной величине попасть в это множество».

6.2 Дискретные распределения

Определение 25. Говорят, что случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел {a1, a2, …} такой, что:

а) pi = P{ ξ = ai} > 0 для всех i;

б).

То есть случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.

Определение 26. Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, назовем таблицей распределения соответствие ai ↔ pi, которое чаще всего рисуют так:

6.3 Примеры дискретных распределений

Вырожденное распределение.

Говорят, что случайная величина ξ имеет вырожденное распределение с параметром а, и пишут ξ Î Ia если ξ принимает единственное значение а с вероятностью 1, то есть P(ξ = a) = 1. Таблица распределения ξ имеет вид

Распределение Бернулли.

Говорят, что случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р, и пишут ξ Î Вр, если ξ принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и 1 - р, соответственно. Случайная величина ξ с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха (0 успехов или 1 успех). Таблица распределения ξ имеет вид