Следствие 10 (Формула свертки). Если с. в. ξ1 и ξ2 независимы и имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями f ξ1 (x1) и f ξ2 (x2)., то плотность распределения суммы ξ1 + ξ2 равна «свертке» плотностей f ξ1 (x1) и f ξ2 (x2)

(9)

Следствие 10 не только предлагает формулу для вычисления плотности распределения суммы, но и утверждает (заметьте!), что сумма двух независимых случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями также имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если даже одна из двух независимых случайных величин имеет дискретное, а вторая – абсолютно непрерывное распределение, то их сумма тоже имеет абсолютно непрерывное распределение, как показывает следующее упражнение.

Упражнение. Пусть с. в. ξ имеет таблицу распределения P(ξ = аi) = pi, с. в. η имеет плотность распределения fη(x), и эти величины независимы. Доказать, что ξ +η имеет плотность распределения

10.3 Примеры использования формулы свертки

Пример 26. Пусть независимые случайные величины ξ и η имеют стандартное нормальное распределение. Докажем, что их сумма имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 2.

Доказательство. По формуле свертки, плотность суммы равна

Выделим полный квадрат по u в показателе экспоненты:

Тогда

Последнее равенство верно поскольку под интегралом стоит плотность нормального распределения с параметрами 0 и , так что интеграл по всей прямой равен 1. Итак, мы получили, что плотность суммы есть плотность нормального распределения с параметрами 0 и 2.

Если сумма двух независимых случайных величин из одного и того же распределения (возможно, с разными параметрами) имеет такое же распределение, говорят, что это распределение устойчиво относительно суммирования.

В следующих утверждениях, перечислены практически все устойчивые распределения.

Лемма 3. Пусть случайные величины ξ Î Пλ и ηÎ Пμ независимы. Тогда ξ+ η Î Пλ+μ

Лемма 4. Пусть случайные величины ξ Î Bn,p и ξ Î Bm,p независимы. Тогда ξ+ η ÎBm+n,p

Лемма 5. Пусть случайные величины и независимы. Тогда

Показательное распределение не устойчиво по суммированию, однако его можно считать частным случаем гамма-распределения, которое уже в некотором смысле устойчиво относительно суммирования.

Определение 37. Случайная величина ξ имеет гамма-распределение Гα,λ с параметрами α > 0, λ > 0, если она имеет плотность распределения

где постоянная c вычисляется из условия

Заметим, что показательное распределение Еα есть гамма-распределение Гα,1.

Лемма 6. Пусть независимые случайные величины ξ1, … , ξn имеют показательное распределение Еα = Гα,1 Тогда ξ1 +…+ξn Î Гα,n

«Случайных величин без мат. ожидания не бывает, так как, если у нас есть случайная величина мы всегда в праве от нее что-нибудь ожидать.»

Из студенческой контрольной работы.

Раздел 11. Числовые характеристики случайных величин

11.1 Математическое ожидание случайной величины

Определение 38. Математическим ожиданием Eξ (средним значением, первым моментом) случайной величины ξ с дискретным распределением, задаваемым таблицей P(ξ = аi) = pi, называется число

если указанный ряд абсолютно сходится.

Если же

, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Определение 39. Математическим ожиданием Eξ случайной величины ξ с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения fξ(x), называется число

если указанный интеграл абсолютно сходится.

Если же

, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точку аi массу pi (для дискретного распределения), или «размазав» ее с плотностью fξ(x) (для абсолютно непрерывного распределения), то точка Eξ есть координата «центра тяжести» прямой.

Пример 26. Пусть случайная величина ξ равна числу очков, выпадающих при одном подбрасывании кубика. Тогда

в среднем при подбрасывании кубика выпадает 3.5 очка

Пример 27. Пусть случайная величина ξ — координата точки, брошенной наудачу на отрезок [a,b]. Тогда

центр тяжести равномерного распределения на отрезке есть середина отрезка.

11.2 Свойства математического ожидания

Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.

E0. Математическое ожидание случайной величины есть ЧИСЛО!

E1. Для произвольной функции функция g: R ® R

Доказательство. Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения. Пусть g(ξ) принимает значения с1 с2 … с вероятностями

Тогда

E2 Математическое ожидание const равно этой const Eс = с.

E3. const можно вынести за знак математического ожидания: E(с ξ) = с Eξ.

Доказательство. Следует из свойства E1 при g(ξ) = с ξ .