Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Свойство 15. Если , и функция распределения непрерывна в точках a и b, то Наоборот, если во всех точках a и b непрерывности функции распределения имеет место, например, сходимость , то .

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 16.

1. Если , то .

2. Если = const, то .

Доказательство.Докажем, что слабая сходимость к постоянной влечет сходимость по вероятности.

Пусть

при любом x, являющемся точкой непрерывности предельной функции , то есть при всех .

Возьмем произвольное и докажем, что. Раскроем модуль:

(сужаем событие под знаком вероятности)

поскольку в точках функция непрерывна, и, следовательно, имеет место сходимость последовательности к

Осталось заметить, что не бывает больше 1, так что по лемме о двух милиционерах .

Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям — скажем, домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.

Свойство 17.

1. Если const и , то .

2. Если const и , то .

Несколько содержательных примеров слабой сходимости мы рассмотрим в следующей главе. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределения сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

14.3 Центральная предельная теорема

Мы будем называть следующее утверждение «ЦПТ А. М. Ляпунова» (1901), но сформулируем теорему Ляпунова только в частном случае — для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Теорема 31 (ЦПТ).

Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Обозначим через сумму первых n случайных величин. Тогда последовательность с. в. слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения любого нормального закона непрерывна всюду на R, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие 18. Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.

Для любых вещественных x < y при имеет место сходимость

Для любых вещественных x < y при имеет место сходимость

Для любых вещественных x < y при имеет место сходимость

Если — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

Замечание 19. Еще раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахождения первообразной.

14.4 Предельная теорема Муавра — Лапласа

Получим в качестве следствия из ЦПТ предельную теорему Муавра — Лапласа (P. S. Laplace, 1812; A. de Moivre, 1730). Подобно ЗБЧ Бернулли, предельная теорема Муавра – Лапласа — утверждение только схемы Бернулли.

Теорема 32 (Предельная теорема Муавра — Лапласа).

Пусть А — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью p = P(A). Пусть — число осуществлений события А в n испытаниях. Тогда . Иначе говоря, для любых вещественных x < y при имеет место сходимость

14.5 Примеры использования ЦПТ

Пример 48.

Монета подбрасывается 10 000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.

Требуется найти