Теорема 8 (Формула полной вероятности).

Пусть Н1, Н2 — полная группа событий. Тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле:

4.4 Формула Байеса

Теорема 9 (Формула Байеса).

Пусть Н1, Н2 …— полная группа событий и A — некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Нk, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

Пример 17. Вернемся к примеру 15. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы: Нi = {изделие изготовлено i-м заводом }, i = 1, 2, 3. Вероятности этих событий даны: P(Н1) = 0,25, P(Н2) = 0,35, P(Н3) = 0,4 . Пусть A = {изделие оказалось бракованным }. Даны также условные вероятности P(A\Н1) = 0,05, P(A\Н2) = 0,03, P(A\Н3) = 0,04

Пример 18. Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте:

Н1 = {стреляет 1-й стрелок}

Н2 = { стреляет 2-й стрелок } .

Априорные (a’priori —«до опыта») вероятности этих гипотез одинаковы: P(Н1) = P(Н1) = 1/2.

Рассмотрим событие A = {пуля попала в мишень}. Известно, что

P(A\Н1) = 1, P(A\Н2) = 0,00001

Поэтому вероятность пуле попасть в мишень P(A) = 1/2*1 + 1/2*0,00001. . Предположим, что событие A произошло. Какова теперь апостериорная (a’posteriori — «после опыта») вероятность каждой из гипотез Нi? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в 100000 раз). Действительно,

Раздел 5. Схема Бернулли

5.1 Распределение числа успехов в n испытаниях

Определение 19. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятность р Î [0,1], «неудача» — с вероятностью q = 1 - p.

Теорема 10 (Формула Бернулли).

Обозначим через vn число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого k = 0, 1, …n

Доказательство. Событие A ={ vn = k} означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию A элементарных исходов:

Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна pk(1 - p)n-k.

Другие благоприятствующие событию A элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно способов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна pk(1 - p)n-k.

Определение 20. Набор чисел

называется биноминальным распределением вероятностей и обозначается Вnp или B(n,p).

Теорема 11 Пусть m1, m2 целые числа, 0 £ m1 £ m £ m2 £ n Обозначим через Рn(m1,m2) вероятность того, что событие А наступило не менее m1 и не более m2 раз в n испытаниях. Тогда

5.2 Наиболее вероятное число успехов

По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в n испытаниях» имеет вероятность qn , 1 успех — вероятность n p qn и т.д. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком k достигается максимум P(vn=k)?

Чтобы выяснить это, сравним отношение P(vn=k)и P(vn=k-1)с единицей.

Видим, что

(a) Р(vn = k) > Р(vn = k-1) при np + p – k > 0, то есть при k < np + p;

(b) Р(vn = k) < Р(vn = k-1 )при np + p – k < 0, то есть при k > np + p;

(c) Р(vn = k) = Р(vn = k-1 при np + p – k = 0, что возможно лишь если np + p — целое число.

Рассмотрим два случая: np + p –целое число и np + p – дробное число. В первом случае пусть k0 = np + p. Из полученных выше неравенств, сразу следует, что

Во втором случае пусть k0 = [np + p] (целая часть числа np + p, то есть наибольшее целое число, не превосходящее np + p). Из неравенств (a), (b) следует, что

Действительно, неравенство Р(vn = k0) > Р(vn = k0+1), например, следует из (b), примененного для

k = k0+1 > np + p.

Видим, что в зависимости от того, является число 1 > np + p целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k0 = np + p и k0 –1 > np + p - 1,либо одно «наиболее вероятное» число успехов k0 = [np + p].

Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.