Инвариантность относительно преобразований Лоренца.

Оказывается, одномерное волновое уравнение все же остается инвариантным при переходе от системы отсчета K к системе отсчёта К’, но если воспользоваться не преобразованиями Галилея, а так называемыми преобразованиями Лоренца, которые имеют вид:

Теперь не только координата Х, но и время Т преобразуются. Докажем инвариантность. Снова рассмотрим функцию

где b=V/C. Тогда , дифференцируя её по t , получим

Следовательно ,

Далее, дифференцируя по t, получаем

Следовательно,

Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение Даламбера

Получим тогда уравнение

Таким образом, приходим к уравнению

слагаемые со смешанным вторым производным в обеих частях равенства сокращаются. Окончательно получаем уравнение

Следовательно, приходим к уравнению

т.е. в точности к исходному одномерному волновому уравнению Даламбера.

Итак, приходим к заключению, что волновое уравнение Даламбера инвариантно относительно преобразований Лоренца. Это важное математическое открытие в своё время сделал Лоренц, который, однако, рассматривал не просто одномерное волновое уравнение, а уравнения Максвелла, которые можно считать усложненным трехмерным “волновым уравнением” - для поперечных электромагнитных волн. Именно это математическое открытие позволило Лоренцу в 1904 г. Объяснить отрицательный результат экспериментов первого и второго порядков по V/C по обнаружению скорости V поступательного движения относительно эфира.

Отметим здесь ещё одну интересную возможную физическую интерпретацию полученного математического результата - с инвариантностью волнового уравнения относительно преобразований Лоренца.

Для большей определённости снова рассмотрим звуковые волны в воздухе в акустическом приближении . Эти волны можно рассматривать как самостоятельные физические объекты , никак не связанные со средой - воздухом, колебаниями которого они на самом деле являются . Среда теперь - совершенно другой физический объект, даже иной физической природы. Звуковые волны существуют сами по себе ,безо всякой среды. И этот новый физический объект -“волны“ - поэтому совершенно естественно должен одинаково описываться во всех инерциальных системах отсчета, так как инерциальные системы отсчета не только механически, но и физически должны быть полностью равноправными.

В отношении звуковых волн в воздухе такая физическая интерпретация вполне возможна, но только о рамках акустического приближения, т.е. для волн очень малой (даже бесконечно малой) амплитуды. В случае звуковых волн конечной и большой амплитуды такая, казалось бы, самая простая и естественная интерпретация, разумеется, неправильна.

В специальной теории относительности обсуждаются не звуковые, а электромагнитные волны. Средой, подобной воздуху, для звуковых волн здесь является, правда, пока ещё экспериментально не открытая особая гипотетическая среда, называемая эфиром. Но эфир экспериментально не обнаружен , и вообще в настоящее время в современной фундаментальной физике электромагнитного поля ещё многое остаётся неясным. Поэтому можно считать, как это делают в настоящее время, описанную физическую интерпретацию единственно приемлемой, как это провозгласил Эйнштейн в 1905 г., что эфира в природе не существует.

Как выше отмечалось, оптические и электродинамические эксперименты, проведённые на Земле с целью обнаружения и измерения поступательной скорости V Земли первого и второго порядков малости по величине V/C=10^-4, дали отрицательный результат. В частности, отрицательный результат дал и эксперимент Майкельсона - Морли с двухплечевым интерферометром. Никаких эффектов влияния поступательной скорости движения Земли все эти эксперименты не выявили .Скорость Земли в указанных экспериментах измерить не удалось.

Таким образом, к концу Х|Х века в результате всех этих экспериментальных неудач удалось обобщить механический принцип относительности Галилея на электромагнитные (в том числе и оптические) явления и провозгласить общефизический принцип относительности, который иногда называют принципом относительности Эйнштейна.

Электродинамический принцип относительности.

Все физические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Нельзя с помощью каких-либо физических экспериментов в движущейся инерциальной системе отсчета определить скорость ее движения , если не производить наблюдений тел из системы отсчета , относительно которой мы хотим определить скорость движения.

Математическое свойство инвариантности относительно преобразований Лоренца основных уравнений электродинамики - уравнений Максвелла использовалось Лоренцем в 1895 г. И в 1904 г. Для объяснения, почему с помощью электродинамических экспериментов нельзя определить скорость поступательногодвижения Земли в эффектах первого и второго порядков малости ( 1895 г.) и вообще во всех эффектах (1904 г. ).

Обсуждение понятия скорости тела и построения полей времени в покоящейся и движущейся системах отсчета.

Казалось бы, понятие скорости тела, как пройденного пути за определенный промежуток времени:

настолько ясно, что не требует вообще никаких пояснений. Конечно, если тело движется неравномерно, то надо вводить в рассмотрение мгновенную скорость

но не об этом сейчас речь. Вместе с тем в связи с данным определением скорости необходимо, однако, обсудить весьма существенный физический вопрос.

Чтобы лучше представить себе ситуацию, рассмотрим конкретный эксперимент, проводимый для измерения скорости тела. Пусть имеется движущееся тело и пусть оно в какой-то момент времени проходит или пролетает через то место N , где мы сами сейчас находимся. Засечём этот момент t1 на имеющемся у нас измерителе времени - часам.

Предположим, что мы находимся в месте N и наблюдаем из этого места за нашим движущимся телом. Через некоторое время, скажем в момент времени t2 , зарегистрированным по нашим часам, тело проходит через другое место M, расстояние до которого S2-S1 от нашего места N, мы можем измерить заранее. Тогда скоростью тела мы назовем отношение

Вроде бы всё совершенно ясно. Но это не так. Мы должны учесть, что когда мы увидели, что тело проходит через место M ,мы на самом деле просто зарегистрировали световой сигнал, приходящий к нам из места M, свидетельствующий о совпадении тела и места M. Так как сигнал распространяется с некоторой конечной скоростью С, то мы должны это учесть и ввести поправку на время распространения сигнала от места M до места N, т.е. поправку на время запаздывания .

Таким образом, мы должны в формуле для скорости V взять не момент t2, непосредственно экспериментально наблюдаемый и зафиксированный по нашим часам, а момент

и скоростью тела должны на самом деле назвать величину

которая лишь незначительно больше величины V, если тело движется не слишком быстро.