В заключение заметим, что кроме кажущегося, чисто кинематического сокращения длинны движущегося стержня в рассматриваемой кинематике, основанной на описаных выше процедурах построения полей времени в системах отсчёта K и K’ , имеется ещё и эффект кажущегося замедления хода движущихся часов.

Пусть мы имеем часы, неподвижные в “движущейся” системе K’ , находящиеся в точке x’A = x’B . Пусть в них произошел один период колебаний, начавшийся в момент времени t’A (событие A) и окончившийся в момент времени t’B (событие B), так что t’B - t’A = t0 , где t0 - период колебаний часов в “собственной” системе отсчёта

(где они покоятся). Обозначив через xA , xB , tA и tB координаты событий A и B в системе отсчёта K , получаем

Вычитая второе равенство из первого для кажущегося периода колебаний t часов, определённого в “движущейся” системе K’ имеем следующую формулу

так как x’A = x’B . Следовательно, окончательно получаем формулу

для кажущегося, т.е. кинематического, замедления хода движущихся часов.

4.12 Кинематический вывод преобразований Галилея.

Введём теперь, рассуждая совершенно аналогично тому, как мы это делали при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея, изменив процедуры построения полей времени в инерциальных системах отсчета K и K ’.

Построение полей времени в системах отсчета K и K ’. Будем теперь считать, что в системе отсчёта K среда, возбуждениями которой является свет, покоится. Тогда относительно системы отсчёта K’ эта Среда будет двигаться со скоростью u в отрицательном направлении оси x’.

Процедуру построения локальных времён и синхронизации часов в системе отсчёта K оставим прежней. Но процедуру построения локальных времён в системе отсчёта K’ изменим. При синхронизации часов, помещённых в точке M но оси x’ с координатой x’M>0 , с помощью короткого импульсного светового сигнала, выпущенного из начала координат x’ = 0 в начальный момент времени t’ = 0, в момент прихода сигнала в точку M , на часах в точке M теперь поставим не время r/c , где r - расстояние между O и M , а время

r .

c + u

Аналогично поступим с точкой M на оси x’ с координатой x’M<0. В ней на часах в момент прихода сигнала поставим время

r .

c - u

Основные соотношения. Рассмотрим снова три мгновенных точечных события. В системе отсчёта K они выглядят следующим образом. В точке x1 на оси x в момент t’1 пусть испускается короткий световой импульс в положительном направлении оси x. В момент t’2 пусть он приходит в точку x2 на оси x, отражается в ней и в момент t’3 возвращается в точку x1 , так что x1 = x3.

Согласно принятым процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K ’ , имеем теперь следующие шесть основных соотношений:

Нахождение функций j и y. Составим сначала функциональное уравнение для функции j. Имеем

Вычтем первое соотношение из третьего и результат сравним со вторым соотношением. Получим тогда уравнение

или

то есть

С учётом соотношений

отсюда приходим к следующему окончательному функциональному уравнению для определения вида функции j:

которое удовлетворяется при любых значениях независимых переменных и x1 , x2 и t1 . Чтобы разрешить это функциональное уравнение, продифференцируем его по x2 и получим из него продифференцированное функциональное уравнение:

Положим в этом уравнении. x1 = x2 = x & t1 = t. Придем к уравнению

так что имеем очень простое дифференциальное уравнение

или

для определения вида функции .

Общее решение последнего уравнения имеет вид

где F - произвольная функция. Подставим эту формулу в приведенное выше продифференцированное функциональное уравнение. Учтем, что

и поэтому получим соотношение

Так как

то приходим к следующему уравнению

справедливому при любых значениях x1,x2,t1. Аргументы функций в правой и левой частях принимают произвольные значения при произвольных x1,x2,t1. Следовательно,

а потому , игнорируя получаем

где a и b- некоторые пока не определенные постоянные.

Составим теперь функциональное уравнение для функции y. Имеем

где G - произвольная функция. Вычитая первое уравнение из третьего уравнения и сравнивая полученный результат со вторым уравнением, получаем соотношение

Следовательно,

или

Отсюда непосредственно приходим к следующему основному функциональному уравнению для функции :