Пусть x, y, z, t - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К. Пусть x', y', z', t' - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К'.

Ради простоты дальше будем рассматривать только координаты x и x', считая что всегда y' = y и z' = z. Тогда в системах отсчета К и К' координаты одного и того же мгновенного точечного события будут x, t и x', t' соответственно, причем «координатой» будем называть не только координату x, а координату и время - x, t.

Так как эти числа относятся к одному и тому же событию (существующему в природе вне зависимости от наличия или отсутствия систем отсчета К и К'), то очевидно должны существовать однозначные математические зависимости вида

x' = j(x, t), t' = y(x, t).

Формулы указанных зависимостей будем называть формулами преобразования координат мгновенного точечного события (любого) от системы отсчета K системе отсчета К'.

Наша конечная цель - найти вид функций j и y в приведенных формулах преобразования. Чтобы это сделать, обратимся к так называемым основным, исходным для нас, соотношениям, которые мы сейчас сформулируем.

Рассмотрим три следующих мгновенных точечных события. Опишем их сначала в системе отсчета К. Пусть в точке x1 оси x в момент t1 мгновенно был испущен короткий световой импульс в положительном направлении оси x. Пусть в момент времени t2 этот импульс оказался в точке x2 оси x, в которой он зеркально отразился и стал двигаться в отрицательном направлении оси x. Пусть, наконец, в момент времени t3 этот световой импульс снова оказался в исходной точке, так что x3 = x1.

Посмотрим теперь на три указанных мгновенных точечных события с точки зрения системы отсчета K'. Мы увидим, что в точке x1' в момент времени t' был испущен в положительном направлении оси x' короткий световой импульс, который в момент времени t2' достиг точки x2', отразился в ней и в момент времени t3' оказался в точке x3', причем теперь x3' ¹ x1'.

Согласно описанным выше процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K' имеем следующие очевидные соотношения в системе отсчета K:

x3 = x1

и в системе отсчета K':

Точка x1 = x3 на оси x системы отсчета K движется со скоростью u в отрицательном направлении оси x', если ее наблюдать в системе отсчета K'.

Мы сформулировали шесть основных соотношений, исходя из которых мы теперь найдем вид функций j и y.

Нахождение функции j. Составим функциональное уравнение для определения функции j. Представим три соотношения для системы отсчета K в следующем виде:

Вычитая первое соотношение из третьего, получаем

Используя второе соотношение, отсюда приходим к равенству

Следовательно,

или

Таким образом, видим, что функция j удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

В этом уравнении величины x1, t1, x2, t2, x3, t3, однако, не независимы, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета K. Учтем наличие этих соотношений и оставим независимыми только следующие три величины: x1, x2 и t1. Величины x3, t2 и t3 можно выразить через указанные независимые величины. Действительно, из первого соотношения получаем

следовательно,

Далее, из второго соотношения имеем

а следовательно,

мы воспользовались выражением для t2 и условием x3 = x1.

Таким образом, получаем следующее окончательное функциональное уравнение для определения функции j:

которое должно выполняться для произвольных значений x1, x2 и t1.

Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем это уравнение по x2. Получим тогда соотношение, которое будем называть продифференцированным функциональным уравнением

на общую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от ). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь и . Тогда придем к следующему дифференциальному уравнению:

Общее решение полученного очень простого дифференциального уравнения легко найти, если перейти к переменным и и показать, что в новых переменных это уравнение имеет вид

Так получаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид

где F — пока произвольная функция.

Найдем вид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для в наше дифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда следующее функциональное уравнение:

После элементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что

или

Так как при произвольных аргументы функций в правой и левой частях равенства различны и могут принимать совершенно произвольные значения, то приходим к заключению, что