=

и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид:

где — пока что неопределенная постоянная.

Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно и . Имеем уравнения

Следовательно,

и поэтому

Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования:

которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета не в положительном, а в отрицательном направлении оси с некоторой положительной скоростью (положительной), определенной в системе отсчета K . Здесь — некоторое пока неизвестное нам число.

Сравнивая друг с другом приведённые пары формул преобразований, приходим к заключению, что имеют место следующие четыре равенства:

из которых непосредственно заключаем, что

и что величины a и a’ удовлетворяют соотношению

Таким образом, мы показали, что имеются следующие формулы преобразований координат x, t и x’, t‘ мгновенного точечного события в системах отсчета K и K’:

и

где величины a’ и a связаны вышеуказанным соотношением.

Чтобы найти числа a’ и a, выставим ещё одно требование. Обратим внимание, что пока мы до конца не условились о выборе основных единиц измерения длинны и времени в системах отсчета K и K ’. Разумеется, отчасти этот выбор уже был выше ограничен требованием, чтобы скорость света в обеих системах отсчёта давалась одним и тем же числом c, которое мы учли, т.е. мы уже согласовали отчасти единицы измерения скоростей в системах K и K’. Но единица скорости есть только отношение единиц длины и времени. Поэтому остаётся произвол в выборе единицы измерения либо длины, либо времени. Фиксируем теперь окончательно этот произвол с помощью следующего требования.

Требование 2. Длины l и l’ двух покоящихся в системах отсчёта K и K’ стержней одинаковой собственной длинны l0 (измеренной в этих системах отсчёта, в которых каждый из этих стержней покоится), измеренные, соответственно, в системах отсчёта K и K’ , относительно которых эти стержни движутся одинаковы.

Возьмём стержень длинны l0 , покоящийся в “движущейся” системе отсчёта K’. Пусть он лежит на оси x’ и его левый конец пусть имеет координату x’A , а правый - координату x’B

Из мерим длину этого стержня в “покоящейся” системе отсчёта K. Пусть в одинаковые моменты времени tA и tB ( tA = tB ) левый и правый концы стержня, движущегося в системе отсчёта K, имели координаты xA и xB. (События A и B соответственно). Нам надо составить разность xA - xB = l , чтобы найти длину движущегося со скоростью u стержня, длина которого равна l0 в покоящейся системе координат.

Согласно уже выведенным формулам преобразований координат и времён мгновенных точечных событий, имеем соотношения:

Вычтем из и учтём условие Тогда получим

Таким образом, имеем соотношение

Если теперь, наоборот, взять стержень длины l0 , расположенный в “неподвижной” системе отсчёта K , и измерить его длину l’ в “движущейся” системе отсчёта K’ , то для этой длины, рассуждая аналогично, получаем соотношение

Потребуем теперь, чтобы Тогда мы придём к равенству , а следовательно, с учётом выведенного соотношения

к равенствам

Знак минус перед корнем не подходит, так как не удовлетворяет очевидному требованию, что a = 1 при u = 0 , когда мы имеем формулы тождественных преобразований.

Длина движущегося стержня, как видим, меньше его собственной длины l0 . Движущийся стержень как бы сокращается вдоль направления своего движения. Однако это не истинное, а кажущееся сокращение, более точно, это исключительно кинематический эффект, целиком обязанный принятому определению локального поля времени в движущейся системе отсчёта.

Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений следующие формулы преобразований:

которые называют формулами преобразований Лоренца.