С указанной симметрией четырёхмерного мира неразрывно связана инвариантность его геометрических свойств относительно выбора одной из систем отсчёта в классе систем отсчёта, получаемых друг из друга равномерным движением в произвольном направлении с произвольной постоянной скоростью. Этот класс “систем координат” в четырёхмерном мире или по-другому - систем отсчёта, отражающих внутреннюю симметрию четырёхмерного мира, и является загадочным классом инерциальных систем отсчёта классической механики Галилея-Ньютона.

Величины, не изменяющиеся при любых операциях симметрии пространства, являются его важнейшими характеристиками. Такие величины называют инвариантными величинами, или просто инвариантами.

В обычном трёхмерном пространстве основными величинами, инвариантными относительно выбора декартовых осей координат, являются длина произвольного отрезка и угол между двумя произвольными отрезками. Это самые важные количественные геометрические величины в нашем трёхмерном пространстве.

Если имеем две точки М1 и М2 с координатами x1,y1,z1 и x2,y2,z2, в декартовой системе координат К, то квадрат длинны r отрезка между этими точками даётся известным выражением

r2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.

Это выражение инвариантно относительно выбора системы декартовых координат в пространстве. Если x1’, y1’, z1’ и x2’, y2’, x2’ обозначают координаты взятых точек относительно другой декартовой системы К’, то имеем равенство

r’2 = (x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2=

= (x2 - x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2= r2,

причём штрихованные величины выражаются через нештрихованные с помощью формул преобразования координат.

Так, если система К’ получается из системы К поворотом на угол Ф, производимым по правому винту вокруг оси z, то указанные формулы преобразования имеют вид:

x’ = x cos Ф - y sin Ф,

y’ = x cos Ф - y cos Ф,

z’ = z.

В четырёхмерном мире тоже имеется геометрически естественная величина, подобная расстоянию между двумя точками. Это - “расстояние” двух “точек” в четырёхмерном мире. Пусть у нас имеется два мгновенных точечных события М1 и М2 с координатами x1, y1, z1, t1 и x2, y2, z2, t2 отсчитанными относительно инерциальной системы отсчёта К и с координатами x1’,y1’,z1’,t1’ и x2’,y2’,z2’, t2’ отсчитанными относительно другой инерциальной системы отсчёта К’. Тогда относительно преобразований Лоренца, т.е. выбора системы отсчёта К и К’, инвариантна величина квадрата так называемого четырёхмерного ,или релятивистского интервала:

s’2=(x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2-c2(t2’-t1’)2=

=(x2 -x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2-c2(t2 -t1 )2= s2

В частности, легко убедиться непосредственно, что эта величина действительно инвариантна относительно тех преобразований Лоренца, которые мы рассматривали выше:

x - vt t - xv/c2

x’= , y’=y, z’=z, t’=

1-v2/c 2 1-v2/c2

Действительно,

1

s’2=(x2’-x1’)2-c2(t2’-t1’)2= *

1 - v2/c2

*{(x2-vt2-x1-vt1)2 - c2 (t2-x2 v/c2-t1-x1v/c)2} =

1

= {(x2-x1)2 - 2v(x2-x1)(t2-t1)+v2(t2-t1)2}-

1-v2/c2

1

- {-c2(t2-t1)2+2v(x2-x1)(t2-t1)-v2/c2 (x2-x1)2}=

1-v2/c2

=(x2-x1)2 - c2(t2-t1)2=s2

Как мы уже сказали, релятивистский интервал, вернее его квадрат s2 играет роль квадрата “расстояния” между двумя “точками” в четырехмерном пространстве.

В отличие от квадрата расстояния между двумя точками в обычном трехмерном пространстве, который всегда положителен при несовпадающих точках и равен нулю при совпадающих точках, квадрат релятивистского интервала может быть как положительным, так и отрицательным. В четырехмерном мире имеются пары несовпадающих точек, “расстояния” между которыми равно нулю. Например, рассмотрим геометрическое место точек, лежащих на плоскости xt, от начала координат на нулевое “расстояние”. Для них имеем условие

x2-c2t2= 0,

или

(x-ct)(x+ct)=0.

Следовательно, искомым геометрическим местом нескольких точек будут две прямые, симметрично расположенные относительно оси времени.

В четырехмерном мире, или в пространстве - времени множество точек, удаленных от начала координат на нулевое “расстояние”, образуют конус, осью которого является ось времен. Конус называется световым. Точки, расположенные внутри светового конуса, имеют отрицательные квадраты релятивистского интервала до начала координат. Точки, расположенные вне светового конуса, имеют положительные квадраты релятивистского интервала до начала координат.

Множество точек, для которых квадрат интервала s2 от начала координат 0 положителен и постоянен, образует однополостный гиперболоид, окружающий световой конус.

Рассматриваемое нами преобразование Лоренца - простейшее; оно затрагивает только две координаты, а именно x и t в четырехмерном мире. Это преобразование можно рассматривать как некоторый “поворот”, который называется “гиперболическим”, в плоскости xt.

Поясним, что мы имеем в виду. Вместо временной координаты t в четырехмерном мире введем мнимую временную координату x4=ict. Тогда преобразования Лоренца можно записать с помощью следующих формул:

1 v/c

x1’ = x1 + i x4 ,

1- v2/c2 1-v2/c2

v/c 1

x1’ = i x1 + x4