1-v2/c2 1-v2/c2

x2’ = x2, x3’=x3

Здесь x1º x, x2ºy, x3º z. Эти формулы можно сравнить с формулами обычного поворота в плоскости x0 , x1 на угол j , которые имеют вид

При таком, сравнении получим, что

Очевидно не существует действительного угла , который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол , для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно,

Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы

Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,

Как видим, значение мнимого угла , определяется значением отношения скоростей . Введем теперь действительную временную координату , для которой , или

Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид

Это формулы так называемого гиперболического поворота- Поясним геометрию такого поворота. Рассмотрим плоскость , где

Тогда имеем формулы преобразования

Релятивистская механика материальной точки

Приняв гипотезу о едином четырехмерном пространстве-времени, или четырехмерном мире, мы должны пересмотреть классическую механику Ньютона, исправить ее, сделав инвариантной не относительно преобразований Галилея, а относительно преобразований Лоренца. Такую программу пересмотра динамики материальной точки в классической механике выполнил Минковский, создавший релятивистскую динамику материальной точки.

Чтобы перейти в обычном трехмерном пространстве к геометрически естественным величинам (не зависящим от выбора системы декартовых координат, как координаты точки или компоненты вектора), вводят понятия трехмерных векторов а, b и т.д. и операции над этими векторами, в частности длина вектора а равна и косинус угла между векторами а и b равен ,где - скалярное произведение векторов а в b. В частности, квадрат длины радиус-вектора г точки М с координатами x,y,z , в некоторой декартовой системе координат, который имеет декартовы компоненты г(x, у, z), равен

В четырехмерном мире для мгновенного точечного события М с координатами x,y,z,t в некоторой инерциальной системе отсчета можно ввести "4-радиус-вектор" c компонентами причем квадрат длины этого вектора равен

Мгновенной скорость материальной точки не является лоренц-инвариантной величиной, поэтому Минковский вместо нее в

четырехмерном мире ввел релятивистски инвариантную "4-скорость", которая имеет компоненты

- интервал так называемого собственного времени материальной точки, связанный с ds - релятивистским интервалом между двумя близкими мгновенными точечными событиями, характеризующими два бесконечно близких состояния движения движущейся точки

и соотношением , т.е.

где v - обычная мгновенная скорость материальной точки. Так что

Аналогичным образом релятивистски инвариантное "4-ускорение " Минковский определил следующим образом:

Основные уравнения релятивистской динамики материальной точки в релятивистской механике Минковский записал следующим образом:

где - так называемая "масса покоя" материальной точки - компоненты так называемой "4-силы " Минковского.

Покажем теперь, как уравнения Минковского релятивистской динамики материальной точки связаны с обычными уравнениями Ньютона для материальной точки. Прежде всего очевидно, что

так что

т.е. 4-скорость всегда имеет постоянную величину, чисто мнимую, по модулю равную с.

Используя найденные формулы для компонент 4-скорости и формулу для дифференциала собственного времени, имеем следующие уравнения движения: