57. Докажите, что у выпуклого многоугольника имеется диагональ, которая больше, по крайней мере, двух его сторон.

58. Какое наибольшее число прямых углов может быть среди внутренних углов выпуклого многоугольника?

59. Каждая сторона п-угольника является диаметром круга. Зная, что эти круги содержат все внутренние точки много­угольника, определите возможные значения п.

60. Докажите, что пластинку в форме выпуклого пятиуголь­ника можно разрезать на три трапеции.

61. Докажите, что выпуклый га-угольник (п ~> 4) можно раз­делить на п — 2 трапеции.

62. Диагональ делит выпуклый пятиугольник на ромб АВВЕ и равносторонний треугольник ВСВ. Найдите угол АСЕ.

63. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны диагоналям некоторого пятиугольника.

64. Постройте пятиугольник по положению середин всех его сторон.

65. Постройте пятиугольник по положению середин всех его диагоналей.

66. АВСВЕР — шестиугольник, середины сторон которого К, Ь, М, К, О, Р. Докажите, что центры масс треугольников КМО и ШР совпадают.

67. В окружность вписан выпуклый семиугольник, у кото­рого градусные меры трех углов равны по 120°. Докажите, что среди сторон этого семиугольника есть две равные.

68. Стороны треугольника 5, 6, 10 см. Три прямые, соответ­ственно параллельные сторонам треугольника, попарно пере­секаются вне треугольника. Эти прямые пересекают стороны треугольника так, что образуется равносторонний шестиуголь­ник. Найдите его периметр.

69. Все углы выпуклого шестиугольника равны. Докажите, что разности длин его параллельных сторон одинаковы.

Площадь прямоугольника

70. Меньшая из боковых сторон прямоугольной трапеции а. Другая боковая сторона равна сумме оснований. Найдите пло­щадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям названной трапеции.

71. Диагонали ромба 30 и 40 см. Вписанная в ромб окруж­ность касается его сторон в точках А, В, С, В. Найдите площадь четырехугольника АВСВ.

72. Длины сторон прямоугольника а и Ь. Как разрезать его на две части, из которых можно сложить квадрат, если:

а) о = 8 см» Ъ = 18 см; б) о == 9 см, Ь === 16 см?

73. Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами в сантиметрах, причем периметр (в сантиметрах) и пло­щадь (в квадратных сантиметрах) выражены одинаковыми числами. Найдите площадь прямоугольника.

74. Расстояния внутренней точки М от трех вершин квадра­та АВСВ такие: МА == 7 см, МВ = 17 см, МС == 23 см. Найдите площадь квадрата.

75. Даны три параллельные прямые, средняя из которых удалена от двух других на о и Ь. Найдите площадь квадрата, три вершины которого находятся на этих прямых.

76. В окружность радиуса Д вписан прямоугольник пери­метра Р. Найдите площадь прямоугольника.

Площадь параллелограмма

77. Найдите площадь параллелограмма по его периметру Р и двум высотам — Н\ и Н<г.

78. Отрезок ВМ лежит вне треугольника АВС, но его продол­жение пересекает сторону АС. Построены параллелограммы АВМВ и СВМЕ. Докажите, что сумма площадей этих параллело­граммов равна площади четырехугольника АВЕС.

79. На двух параллельных прямых отложены равные отрез­ки АВ и СВ, затем построены 4 параллелограмма (рис. 42).

Докажите, что сумма площадей двух первых параллелограммов равна сумме площадей двух других.

80. На рисунке 43 построены 6 параллелограммов аналогич­но задаче 79. Докажите, что 8\ + 82 + 8з = 6ч + 85 + 8е.

81. Найдите площадь параллелограмма, у которого острый угол та, а расстояния от центра параллелограмма до сторон равны т и ге.

82. Найдите площадь параллелограмма, у которого пери­метр Р = 65 см, а точка пересечения диагоналей удалена от сто­рон на 4 и 6 см.

83. Площадь ромба вдвое меньше площади квадрата, имею­щего такой же периметр, как ромб. Найдите углы ромба.

84. Площадь равностороннего треугольника АВС равна 8. Из точки М на ВС проведены прямые, параллельные АВ и АС. Какую наибольшую площадь может иметь площадь получен­ного параллелограмма?

Площадь треугольника

85. Докажите, что в каждом треугольнике аЪ + ас + &с > 6 8.

86. Найдите углы треугольника, у которого 8 (о2 + Ь2).

87. Докажите, что в каждом треугольнике

— аЬ + Ь2).

88. Верно ли, что в треугольнике со сторонами а, Ь, с и высотами На, Ъ.ь, Нс: (а + Ь + с)

•+ь+

89. Длины двух сторон треугольника а и Ь, биссектрисы углов при третьей стороне пересекаются под углом 15°. Найдите площадь треугольника.

90. Два равных прямоугольника имеют общую диагональ, докажите, что площадь их общей части больше половины пло­щади каждого прямоугольника.

91. Докажите, что площадь четырехугольника не больше произведения полу сумм длин противоположных сторон.

92. Около квадрата АВСВ описана окружность. Найдите на ней такую точку М, чтобы произведение МА • МВ • МС • МВ имело наибольшую возможную величину.

93. Площадь параллелограмма АВСВ равна О. Вершина М параллелограмма АМКВ делит ВС так, что ВМ : МС ===3:5. Найдите площадь общей части параллелограммов.

94. Площадь четырехугольника <?, длины его сторон а, Ь, с, <1, внешние углы ос., (3, у, 6 (рис. 44). Найдите (аЬ зш та + + Ьс аш р + сд. вш -у + а<1 зш 6) : О.

95. У выпуклого четырехугольника АВСВ стороны АВ и СВ равны и лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых. Докажите, что его площадь в 4 раза меньше раз­ности квадратов сторон АТ) и ВС.

96. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямо­угольного треугольника в 8 раз больше площади треугольника. Найдите градусные меры острых углов треугольника.

97. АВСВ — параллелограмм, М — середина АВ, К — сере­дина ВС; АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей треугольника АОВ и параллелограмма АВСВ.

98. Две высоты треугольника делят его на две пары равно­великих частей. Найдите величины углов треугольника.

99. Разность двух сторон треугольника равна разности высот, проведенных к этим сторонам. Докажите, что эти сторо­ны лежат против острых углов.

100. Площадь остроугольного треугольника равна О. Из середины каждой стороны опущены перпендикуляры на другие стороны. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами (рис. 45).

101. Существует ли равнобокая трапеция, которая делится своей диагональю на части с отношением периметров 1 : 2 и отношением площадей 1 : З?

102. Найдите площадь прямоугольного треугольника, у ко­торого наибольшая медиана имеет длину т и образует с боль­шим катетом угол в 15°.

103. Из точки М, находящейся внутри равностороннего треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны. Зная, что длины перпендикуляров 1, 4 и 7 см, найдите площади полученных четырехугольников.

104. Высота АВ и медиана АЕ == т треугольника АВС об­разуют со стороной АВ углы по <х. Найдите площадь треугольни­ка АВС (рис. 46).

105. Длины сторон треугольника 30, 30, 36 см. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окруж­ностей.

106. Докажите, что в прямоугольном треугольнике про­изведение радиуса вписанной окружности на радиус описанной