48. Через середину отрезка ВС вострое» к нему перпенди­куляр- ОМ; тупые углы АВС и ВСВ равны- Зная,, что АВ == = ВС и ^. ВАА\ == А. СВВ\ ( ( риc. 7), докажите, что лучи АА и ВВ\ пересекаются на ОМ.

49. На рисунке 8 АС == 5Р, ^- САВ == ^ ДЯ4 = 90°, АМ и ДМ — биссектрисы углов САВ и ОВ-4. Лучи СМ и .ОМ пересекают прямую АВ в точках Я" и 2<. Докажите, что АЬ = 5ДГ.

50. Если биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делив пополам боковую сторону, то этот треугольник — равносторонний. Докажите.

51. Д АВС — равносторонний. Лучи АВ, ВЕ, СМ попарно пересекаются внутри треугольника, - причем углы ВАВ, СВЕ и АСМ равны (рис. 9). Являются ли точки В, Е, М вершинами равностороннего треугольника?

Третий признак равенства треугольников

52. Медианы АВ и ВО треугольника АВС, у которого АС = ВС, продолжены так, что ВЕ = АВ и ОК = ВО. Докажите, что /_ АКС = /_ ВЕС.

53. Докажите, что треугольники равны, если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника-

54. Докажите, что два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника.

55. Докажите, что треугольник, у которого равны, две высоты, равнобедренный.

66. Равны ли два треугольника, - если основание и проведенная к нему высота ;и медиана одного треугольника соответствен­но равны основанию и проведенным к нему высоте и медиане другого треугольника?

57. Если основание и высоты, проведенные к боковым сторонам одного остроугольного треугольника, соответственны основанию и высотам, проведенным к боковым сторонам друго­го остроугольного треугольника, то эти треугольники равны. Докажите.

Периметр треугольника

58. На отрезке АВ длиной -38 см .между А и В отмечены точки С\, Са,Сз, .,-Сп и построены .равносторонние треугольники с основаниями АС>\, СгСа, СзСа,, ., С.пВ. Зависит ли сумма длин сторон треугольников, лежащих вне отрезка АВ, от количества отмеченных точек я их размещения на АВ (рис. 10),?

59. Периметр треугольника больше его сторон на 32, 29 и 23 см. Определите периметр треугольника.

60. Длины сторон треугольника АВС а, Ь, с. Известно, что

периметр больше а + Ь в — раза, больше а + с в -^- раза. Во сколько раз >он больше Ь -4- с?

Простейшие построения

61. Постройте угол, который на 25 % меньше данного угла.

62. Постройте угол, который вдвое меньше разности двух

данных углов.

63. Опустите из данной точки перпендикуляр на данную

прямую с помощью шаблона острого угла.

64. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки и циркуля постоянного раствора, меньшего половины длины отрезка.

65. Разделите данный отрезок на 8 равных частей с помощью шаблона острого угла.

Построения с помощью циркуля и линейки

66. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне .и медиане, проведенной к этой стороне.

67. Постройте треугольник по основанию, углу при основа­нии я сумме боковых сторон.

68. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведен­ной к основанию, и высоте, проведенной к боковой стороне.

69. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности двух других .'сторон.

70. Ввв 'отрезка АВ построены такие точки С и О, что АС == == ВС и АВ == ВВ. Верно ли, что прямая СВ перпендикуляр на АВ? Как воспользоваться этой задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя построение в одной полуплоскости?

71. Точки А и В находятся на сторонах угла. Построить

отрезок, перпендикулярный АВ и имеющий середину на А1, а концы на сторонах угла.

72. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.

73. Постройте треугольник по основанию, углу при основа­нии и разности боковых сторон.

74. Как опустить из точки М перпендикуляр на прямую I, ес­ли обычное построение невозможно, так как перпендикуляр проходит близко к краю доступной части плоскости?

75. Точки А и В находятся по разные стороны прямой I. Найдите такую точку М, чтобы биссектриса угла АМВ находилась | на I.

76. Постройте треугольник АВС по вершине А и прямым ! 1\ и 1г, на которых лежат биссектрисы углов В и С треугольника.

Признаки параллельности прямых

77. При пересечении прямых АВтя. СВ прямой I образовались 8 углов, из которых 4 — равные тупые углы. Параллельны ли прямые АВ и СО?

78. Докажите, что два перпендикуляра к сторонам угла, который меньше развернутого, пересекаются.

79. На рисунке 11 даны величины углов В, С, О, Е. Парал­лельны ли прямые АВ и ЕР?

80. Две прямые параллельны. Две другие параллельные прямые пересекают их в точках А та В, С та О. Равны ли треуголь­ники АВС и ОСВ?

81. Прямые АВ и СО параллельны. Прямая пересекает их в точках Е и К. Общий перпендикуляр параллельных прямых делит пополам угол между ЕК и биссектрисой угла ВЕК. Найдите /- СКЕ.

82. Как с помощью шаблона прямого угла разделить попо­лам данный отрезок?

83. Как с помощью шаблона острого угла построить перпен­дикуляр к данной прямой в данной точке?

84. Края линейки параллельны, ее ширина меньше отрезка АВ. Как с помощью этой линейки разделить пополам отрезок АВ?

85. Как с помощью линейки с параллельными краями построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку этой прямой?

86. Даны три параллельные прямые и точка М. Постройте прямую, проходящую через точку М так, чтобы разность длин отрезков, отсекаемых на этой прямой данными параллельными прямыми, была равна а.

Сумма углов треугольника

87. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС. Из В и С опущены перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров лежит на биссектрисе

угла А.

88. По данным рисунка 12 определите, есть ли там парал­лельные прямые.

89. Равны ли равнобедренные прямоугольные треугольники, периметры которых равны?

90. Стороны двух треугольников соответственно перпенди­кулярны. Равны ли углы этих треугольников?

91. ВМ и СМ — биссектрисы внешних углов при основании равнобедренного треугольника АВС. Точки А\ и А-г симмет­ричны А относительно названных биссектрис. Докажите, что А АА\Ау.—равнобедренный.

92. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что этот треуголь­ник — прямоугольный.

93. Отношение двух внутренних углов треугольника 2:3, а внешних углов при тех же вершинах —11:9. Найдите величи­ну третьего внешнего угла.

94. Точка М находится внутри треугольника АВС. Найдите сумму углов АМВ, АМС и ВМС.

95. Равнобедренные треугольники равны, их высоты, прове­денные к основаниям, совпадают. Как делятся, пересекаясь, их боковые стороны?

96. Постройте треугольник по двум углам и разности сторон, лежащих против этих углов.

97. В треугольнике АВС АС == ВС. На этих сторонах отме­чены такие точки В, Е, Р, что ВВ == ВЕ = ЕР == РС'== АВ (рис. 13). Найдите углы треугольника АВС.