— о ^п^п.

147. Впишите в данный правильный шестиугольник наи­больший возможный квадрат.

Площадь многоугольника

148. Середины сторон выпуклого шестиугольника после­довательно соединены отрезками. Докажите, что площадь по­лученного шестиугольника больше половины площади началь­ного шестиугольника.

149. Выполнив возможно меньшее число разрезов, сложите из трех равных правильных шестиугольников один правильный шестиугольник.

150. Решите задачу 149 для четырех правильных шести­угольников.

151. Докажите, что сумма расстояний от всех сторон выпук­лого равностороннего многоугольника (или их продолжений) у всех внутренних точек многоугольника одинакова.

152. Площадь правильного шестиугольника равна — про­изведения длин двух неравных диагоналей. Докажите.

153. Площадь правильного двенадцатиугольника равна квадрату его диагонали. Какой именно?

154. АВ и СВ — параллельные стороны правильного две­надцатиугольника, АС и ВО не пересекаются. Докажите, что АС и ВВ делят двенадцатиугольник на три равновеликие части.

155. На школьном вечере среди вопросов математической викторины был предложен такой: «Выразите площадь правиль­ного восьмиугольника А\А•^А^А^А^А!,А^Ау. через его линейные элементы». Поступили следующие ответы: 1) 2Д2 У2; 2) про­изведение наименьшей диагонали на наибольшую; 3) А\Аз Х X А\А^, 4) кубический корень из удвоенного произведения длин стороны и всех диагоналей, исходящих из одной вершины;

5) удвоенное произведение стороны на диагональ А\А^;

6) произведение двух неравных параллельных диагоналей. Какие из этих ответов правильны?

156. Уголки квадрата срезаны так, что получился правиль­ный восьмиугольник. На сколько процентов уменьшилась пло­щадь фигуры?

157. Сторона правильного шестиугольника равна а. Через вершину шестиугольника проведена прямая, разделившая его на части, площади которых относятся, как 1 : 3. Найди­те длину отрезка прямой, ограниченного сторонами шести­угольника.

158. Вычислите площадь многоугольника по координатам всех его вершин.

159. Четырехугольник АВСВ разделен на три части отрезка­ми, которые не пересекаются и делят стороны -АО и ВС на три равные части (рис. 50). Докажите, что площадь средней части равна трети площади четырехугольника АВСВ.

Длина окружности

160. Одна окружность построена на катете прямоугольного треугольника, как на диаметре. Другая окружность проходит через середины всех сторон треугольника. При каком условии обе окружности равны?

161. Сторона квадрата АВСВ равна 8см. Найдите длину окружности, которая проходит через точки А v. В ти касается стороны СО квадрата.

162. В окружность радиуса Л вписан правильный двена­дцатиугольник. Его малые диагонали пересекаются в точках, лежащих на некоторой окружности. Определите ее длину.

163. В окружность радиуса Д вписан равносторонний тре­угольник АВС. Найдите длину окружности, которая касается данной окружности и продолжений сторон АВ и АС треуголь­ника.

164. Радиус окружности 2 см. Две окружности с радиусами по 1 см касаются одна другой и внутренним образом касаются большей окружности. Найдите длину окружности, касающей­ся этих трех окружностей.

165. Периметр равностороннего треугольника АВС равен Р. Найдите длину окружности, которая касается стороны АВ и ме­диан АВ и ВЕ.

166. Длина отрезка равна половине длины окружности. Существуют разные способы его построения:

а) Герона Александрийского:

б) А. Коханского: АВ — диаметр окружности, СВ — каса­тельная, проходящая через точку В; А- СОВ == 30°, СВ == ЗЛ. Искомый отрезок — АВ (рис. 51);

в) X. Гюйгенса: искомый отрезок равен 8012 В;

г) Если катеты прямоугольного треугольника 8 и 9, то по­ловина длины окружности единичного радиуса равна разности между гипотенузой и 8, 9. Проверьте точность построения отрезка этими способами.

. 167. Как относятся длины окружностей, одна из которых описана около равностороннего треугольника, а другая про­ходит через центры вневписанных окружностей.

Длина дуги окружности

168. Хорды АВ и СВ окружности параллельны. Докажите, что дуги АС и ВВ равны.

169. Докажите, что если две хорды окружности равны, то равны и дуги, стягиваемые этими хордами.

170. Каждая сторона треугольника 6 см. По сторонам тре­угольника вне его катится круг радиуса 2 см. Определите длину пути центра круга за один оборот вокруг треугольника.

171. На стороне АВ == а правильного шестиугольника АВСВЕР вне его построен квадрат. Этот квадрат перемещается вокруг шестиугольника так, что все время одна из вершин квадрата совпадает с вершиной шестиугольника. Определите длину пути центра квадрата за один оборот вокруг шести­угольника.

172. Каждая вершина квадрата со стороной а является центром окружности радиуса а. Найдите периметр криволиней­ного четырехугольника, ограниченного названными окружно­стями.

173. Вершины прямоугольника делят описанную окруж­ность на части, длины двух из которых относятся, как 1 : 5. Найдите радианные меры углов, которые диагональ прямо­угольника образует с его сторонами.

174. Радианные меры двух углов треугольника -^- и -^ .

Найдите отношение длин сторон треугольника, лежащих про­тив названных углов.

175. Вершина А равностороннего треугольника АВС являет­ся центром окружности, проходящей через точки В и С. Бис­сектрисы углов В и С пересекают окружность в точках М и Р. Определите радианную меру центральных углов, соответствую­щих дугам РВ, ВС, СМ, МР.

Площадь круга и его частей

176. Периметр равностороннего треугольника Р. На высоте треугольника, как на диаметре, построена окружность. Опреде­лите площадь части круга, находящейся внутри треугольника.

177. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треуголь­ника о. На катете, как на диаметре, построена окружность. Найдите площадь той части круга, которая находится внутри

треугольника.

178. АВ — основание полукруга, точка М находится на окружности. Построены полукруги с диаметрами АМ и ВМ. До­кажите, что сумма площадей луночек (то есть частей полу­кругов, находящихся вне большого полукруга) равна площади

треугольника АМВ.

179. АВ — диаметр полукруга, С — точка этого диаметр" СО — перпендикуляр к АВ, причем точка В находится на ок­ружности. Построены полуокружности диаметров АС та ВС внутрь полукруга. Докажите, что площадь фигуры, ограничен­ной тремя названными полуокружностями (она называется арбелоном) равна площади круга диаметра СВ (рис. 52).

180. На диаметре полукруга АВ отложены равные отрезки АВ и СО. На АВ и СО, как на диаметрах, построены полукруги внутри большого полукруга, на ВС — вне большого полукруга. Радиусы ОЕ и ОР проходят через середину ВС перпендикулярно ВС. Докажите, что площадь фигуры, закрашенной желтым на рисунке 53, равна площади круга диаметра ЕР.

Теорема косинусов

181. Найдите периметр треугольника, у которого длины сторон (в сантиметрах) выражаются последовательными не­четными числами, а один из углов вдвое больше суммы