Умножение вектора на число

136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР, РА. Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Во, Ео, ро. Докажите, что для любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о.

137. АВСВ — четырехугольник, у которого сумма рас­стояний между серединами противолежащих сторон равна ^по­ловине периметра четырехугольника. Докажите, что АВСВ — параллелограмм.

138. Докажите, что, если М — точка пересечения медиан

треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}.

139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС").

о

140. Точка С лежит между А и В, причем АС'.СВ = пг:п. Докажите, что для любой точки Т:

ТС = —"-— ТА + —"——ТВ.

т + п т + п

141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответ­ственно взяты такие точки С\, А\, В\, что АС\ '. С\В = = ВА\ '. А\С == СВ\ '. В\А. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС и точка пересечения медиан треуголь­ника Д^С! совпадают.

142. АВСВ и А\В\С\В\ — параллелограммы. Верно ли, что середины отрезков АА\, ВВ\., СС\, ВВ\ являются вершинами параллелограмма?

Косинус угла

143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост-

2аЬ рыи угол, косинус которого равен —з . ^ •

144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 суще­ствует острый угол, косинус которого равен "

2я2 — 2п + 3

Теорема Пифагора

+ 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь2 + с2 == 2о2, то существует прямо-

„ & Ч- с Ь — с угольный треугольник, длины сторон которого а, —, —„—

&» ^

147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с кате-

, „ л 1 _- а2 , б2 „ 2

тами а, Ь и гипотенузой с: а) —^ —а——г + -тт-—г ^ т-!

А (I -{- С О -\- С О

2 ^ о2 , Ь2 ^, ,. _<, в3 | Ь3 , 5

Й\ " ^- " 1 и ,-- 1 . ^. " 1 " ^- "

б) Т ^ Т^ТТ- -г- ^ч~7 < - ' В; ^Т^ + ^Т^ < I»

148. Докажите, что сумма катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы.

149. Сумма углов при стороне АВ выпуклого четырехуголь­ника АВСВ равна 90°. Докажите, что ВС2 + АВ2 == АС2 + ВВ2. ^ 150. Докажите, что сумма квадратов медиан прямоуголь­ного треугольника в полтора раза больше квадрата его гипо­тенузы.

151. Докажите, что квадрат наименьшей медианы прямо-

угольного треугольника в 5 раз меньше суммы квадратов двух

других медиан.

152.- Если суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите.

153. Периметр квадрата Р. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до прямой, проходящей через его центр.

154. Катет АВ == а лежит против угла в 15°. Найдите

длину, второго катета.

155. Катет АВ == а лежит против угла в 22° 30'. Найдите длину второго катета.

- 156. Длины трех сторон прямоугольной трапеции 25, 25, 32 см. Найдите длину четвертой стороны.

- 157. Отрезок АВ == 12 см служит диаметром окружности с центром О. На отрезках АО и ВО, как на диаметрах построены окружности. Найдите радиус окружности, которая касается трех названных окружностей.

158. Из точки М стороны ВС прямоугольника АВСD отрезки АВ и АD видны под равными углами. Зная, что АВ === 80 см, АD == 89 см, определите, на какие части точка М делит сто­рону ВС.

159. Меньшее основание трапеции 4 см. Высота делит ее на треугольник и квадрат. Если в них вписать окружности, то диаметр одной равен радиусу другой. Найдите периметр тра­пеции.

160. Сторона квадрата 7. Внутри него отмечены 50 точек. Докажите, что среди них найдутся две, расстояние между которыми меньше У2.

161. Катеты прямоугольного треугольника 20 и 50 см. Опре­делите радиус окружности, которая касается меньшего катета и проходит через середины двух других сторон треугольника.

162. Наблюдатель видел стену АВ из двух пунктов под углами по 30°. Расстояние между пунктами 300 м, один нахо­дится строго к югу от В, другой — строго на восток от А. Опре­делите длину стены.

163. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного прямоугольника наименьшая возможная.

Расстояние между двумя точками

164. Докажите, что каждая точка графика у = ж2 + 0»25 равноудалена от оси абсцисс и от точки (0; 0,5).

165. Внутри квадрата АВСD есть такая точка М, что МА == 7, МВ = 13, МС == 17. Определите длину стороны и диа­гонали квадрата.

166. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного равностороннего треугольника,— наи­меньшая возможная.

167. Точка В находится между точками А и С. По одну сто­рону прямой АС построены равносторонние треугольники АВВ и ВСК, по другую — равносторонний треугольник АСМ. Дока­жите, что центры окружностей, описанных около этих тре­угольников, являются вершинами равностороннего треуголь­ника.

Уравнение прямой

168. Три стороны ромба лежат на прямых х == О, у == х, у == == х + 3. На какой прямой лежит четвертая сторона ромба?

169. Найдите периметр треугольника, стороны которого

лежат на оси абсцисс и на прямых у == — ж и у == — —:с+ 15.

170. Равные отрезки АВ и С^ лежат на двух взаимно пер­пендикулярных прямых 1\ и 1ч. Докажите, что прямая, прохо­дящая через середины отрезков ВВ и АВ, равно наклонена к прямым 1\ и 1ч.

171. На каком расстоянии от начала координат проходит прямая, имеющая уравнение Зх — 4у + 24 == О?

172. Напишите уравнения прямых, на которых лежат сто­роны треугольника с вершинами А (—3; 5), В (1; —3), С (7; 9).

173. Напишите уравнение прямой, которая параллельна оси ординат и проходит через точку пересечения прямых 5.т — 9у — — 1 == 0 и Зх -{^у — 10 = 0.

174. Докажите, что прямые ах + 2у — 6 == 0 и Ьх — у + +5=0 пересекаются, если а + 2& ф 0.

175. Вершины треугольника находятся в точках А (0; 13), В (2; —1), С (10; 3). Докажите, что его медианы ВВ и СЕ взаимно перпендикулярны.

Пересечение прямой с окружностью

176. Даны окружности х2 + у2 = 25 и {х — 2)2 + (г/ — б)2 = == 40. Найдите точки пересечения этих окружностей с прямой, проходящей через их центры.

177. Центр окружности радиуса 5 находится в точке пере­сечения прямых Зж — 4г/ — 1 == 0 и 4.х + Зг/ — 18 == 0. В каких точках эта окружность пересекает названные прямые?

178. Окружность с центром (3; 5) касается оси абсцисс. В ка­ких точках она пересекает ось ординат?

179. Три вершины прямоугольника находятся в точках (0; 5), (8; 5), (8; —2). В каких точках окружность (х — 5)2 + + (у — 2)2 = 25 пересекает стороны прямоугольника?

180. Какую фигуру образуют все точки, удаленные на 2 от окружности ж2 + у2 = 49? В каких точках эта фигура пересе­кает оси координат?

Соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

181. Найдите зависимость между о и Ь, если а == 2 вш х + + 3 соз х, Ь == 3 зш х — 2 соз ж.

182. Известно, что ат х

с

183. Зная, что 1-е х == -I