141. Точки М и N находятся на двух боковых гранях куба. Найдите на плоскости основания куба точку с минимальной суммой расстояний от М и N.

142. Точки Л и В находятся по разные стороны плоскости 6, на которую они спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наибольшей возможной разностью расстояний от точек А и В.

143. АВСВА\В1С\В\—куб. Точка М находится на грани СВВ\С\, а точка N — на луче А\ А вне куба. Найдите на плос­кости АВС точку с наибольшей возможной разностью рас­стояний от точек М и N.

144. О — центр грани ВСС\В1 куба АВСВА1В\С\В\. Найдите на плоскости АВС все точки, равноудаленные от точек О и А\.

145. Даны точки А(6; О; О), 5(0; 4; 0), С(5; 1; 3). Постройте отрезок с серединой С и концами на прямой АВ и на плоско­сти хг.

146. Вершины треугольника находятся в точках (2; 3; 4), (5; 1; 8), (8; 10; 3). В результате параллельного переноса верши­на наибольшего угла переместилась в центр описанной окруж­ности. Найдите новые координаты вершин треугольника.

147. Выполните параллельный перенос куба АВСВА\В\С\В\, чтобы его вершина А переместилась в центр грани АВСВ.

148. Выполните параллельный перенос куба авсва\в{с\в\, чтобы центр грани АВВ\А\ переместился на середину отрез­ка АВ.

149. Известно положение вершин А(1; —3; 4), В(3; 1; —1), С(4; 0; 2) параллелограмма АВСВ. Построена фигура, сим­метричная параллелограмму относительно начала координат. Определите, в какую точку переместилась точка В.

Углы между прямыми

150. Найдите величины углов между диагоналями куба.

151. Дан куб АВСВА\В\С\В\. Постройте прямую, которая образует углы по 60° с прямыми ВС и А \В\.

152. М — середина ребра СС\ куба АВСВА\В\С\В\. Найдите угол между А\М и прямой, которая проходит через точку В и середину отрезка А\М.

153. М — центр грани ВСС\В\ куба. Найдите угол между прямыми А\М и ОМ.

154. Найдите на диагонали ВВ\ куба АВСВА\В\С\В\ такую точку Р, чтобы прямые АР и СР пересекались под прямым углом.

155. Найдите угол между направлениями ва[ и В\В\, если отрезки ВА\ и В\В\ — диагонали соответствующих граней куба.

156. По условию задачи 152 найдите угол между направле­ниями А\М и ВВ\.

Угол между прямой и плоскостью

157. Плоскость, проходящая через сторону квадрата, обра­зует с его диагональю угол в 30°. Найдите угол между этой плоскостью и стороной квадрата, которую она пересекает.

158. АВ — высота прямоугольного треугольника АВС. Плоскость, проходящая через гипотенузу, образует с катетами

углы в 30° и 45°. Найдите величину угла между этой плос­костью и АВ.

159. АВСВ — квадрат, точка М находится вне его плоско­сти. Углы между прямыми МА, МВ, МС и плоскостью квадрата 45°, 60°, 45°. Найдите угол между прямой МВ и плоскостью АВС.

160. Прямая I параллельна плоскости 6. Найдите на этой плоскости все такие точки М, что прямая, проходящая через М, пересекает б и образует равные углы с I и с плоскостью 6.

161. Прямая проходит черве вершину прямого угла и обра­зует с его сторонами углы в 45° и 60°. Какой угол она образует с плоскостью прямого угла?

162. Через сторону АВ равностороннего треугольника АВС проходит плоскость, образующая с прямой АС угол в 30°. Найдите углы между этой плоскостью и высотами тре­угольника.

168. На плоскости ху дана окружность {х — 4)2 -|-+ (у — З)2 = 25. Точка А имеет координаты (0; 0; 5). Найдите на окружности такую точку В, чтобы угол между АВ и ху был наименьшим возможным.

164. АВСВ — квадрат, точка М находится вне его плоскости. Прямые ВС т АС образуют с плоскостью АВМ углы, градусные меры которых разнятся на и. Определите величины этих углов.

166. Из точки М, находящейся вне плоскости 6, проведены к »той плоскости наклонные МА == 23 см и МВ === 9 см. Зная, что углы между наклонными и плоскостью б относятся, как 1 : 3, определите расстояние от точки М до плоскости б.

1@6. Из точки М, удаленной от плоскости 6 на 24 см, по­строены две наклонные, длины которых относятся, как 5 : 8. Углы между наклонными и плоскостью относятся, как 1 : 2. Найдите длины наклонных.

167. Из точки М ^ б проведены к плоскости наклонные МА и МВ, проекции которых на плоскость 11 и 37 см. Зная, что углы между наклонными « плоскостью относятся, как 3:1, найдите расстояние от М до 6.

168. МА и МВ - наклонные, образующие с плоскостью 5, содержащей точки А и В, углы, один из которых в 4 раза больше другого. Зная, что проекции наклонных на эту пло­скость 600 и 119 см, найдите расстояние от точки М до пло­скости &

189. Из точки М к плоскости 8 проведены наклонные МА и МВ дджнон 79' и 25 ем. Углы между наклонными и плоскостью отяовявтся, как 1 : 5. Найдите расстояние от точки М до пло­скости 6.

17<^. В точке О к плоскости 6 восстановлен перпендикуляр. На иеж отаютенм точки А, В, С так, что АО — ВО == 144 см, АО — СО == 26 см. Зная, что углы между наклонными МА, МВ, МС и плоскостью относятся, как 1:4:3, найдите МО.

Угол между плоскостями

171. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из ко­торых сумма расстояний от двух данных пересекающихся плоскостей равна та?

172. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из ко­торых разность расстояний от двух данных пересекающихся плоскостей равна т?

173. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из кото­рых расстояния от пересекающихся плоскостей а и |3 относятся, как т : га?

174. АВСТ) — квадрат, треугольники МАВ и МВС — равносторонние. Найдите угол между плоскостями треуголь­ников.

175. Длины сторон трапеции 19, 19, 19, 45см. Плоскость проходит через основание трапеции под углом в 30° к пло­скости трапеции. Найдите расстояние от этой плоскости до дру­гого основания трапеции.

176. АВСВ — квадрат. Точка М удалена от каждой стороны квадрата на АВ. Найдите угол между плоскостью квадрата и плоскостью МВС.

177. Точка М удалена от каждой стороны равностороннего треугольника АВС на радиус окружности, описанной около треугольника. Найдите угол между плоскостями АВС и МАВ.

178. Точка М находится внутри двугранного угла а и удале­на от его граней на а и Ь. Найдите ее расстояние от ребра дву­гранного угла, если а, а, Ь соответственно равны: а) 120°, 22см, 23см; 6)60°, 2см, 11см; в) 30°, 2см, 3 уз см;

г) 150°,^11 см; 8 уз см; д) 45°, ,10см, 7-^2 см; е) 135°, 8 см, 7у2 см.

179. Точка М находится внутри двугранного угла в 45° и удалена от его ребра на 10 см. Найдите ее расстояния от граней двугранного угла, зная, что эти расстояния относятся, как 1 : 3 У2.

180. Сторона равностороннего треугольника 6 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если плоскости МАВ, МАС, МВС образуют с ней углы: а) 90°, 30°, 60°; б) 60°, 60°, 30°.

Площадь ортогональной проекции

181. Плоскости а и р пересекаются. Треугольник АВС находится на плоскости а, его ортогональная проекция на плоскость р — Д А\В\С\. Ортогональная проекция на плоскость а треугольника А[В[С1 — Д А уВъС-г. Найдите угол между пло­скостями а и р, если площадь треугольника АчВ'гСч меньше площади треугольника АВС: а) вдвое; б) на 25 %.