243. Основание пирамиды — трапеция (или треугольник) со средней линией АВ, вершина пирамиды М, О — середина сто­роны, параллельной средней линии. Докажите, что объем

пирамиды равен — произведения площади сечения МАВ на з

расстояние от точки О до плоскости МАВ (рис. 71).

244. Основания многогранника лежат в параллельных плоскостях, все остальные грани — треугольники или трапе­ции, все вершины которых лежат на основаниях. Докажите,

что объем многогранника V = — ((?1 + Ог + 4<?о), где Я — рас­стояние между плоскостями оснований, 61 и Оч — площади оснований, а <?о — площадь сечения, проходящего через сере­дины всех ребер, не принадлежащих основаниям (рис. 72).

245. Найдите объем чердачного помещения, у которого основание — прямоугольник 6 X 12 м, высота 1,5 м, длина гребня 9 м.

Объемы подобных тел

246. У двух правильных треугольных пирамид двугранные углы при основаниях равны по 60°. Высота одной пирамиды равна стороне основания другой. Как относятся объемы этих пирамид?

247. При каком построении плоскость рассекает прямоуголь­ный параллелепипед с измерениями 2, 4, 9 см на два подоб­ных параллелепипеда? Найдите объемы этих параллеле­пипедов.

248. Через центр масс основания треугольной пирамиды проходит плоскость, параллельная боковой грани. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит пирамиду.

249. Объем правильной четырехугольной пирамиды МАВСО равен V. В результате параллельного переноса вершина А пе­реместилась в центр основания. Найдите объем общей части обоих положений пирамиды.

250. Найдите отношение объемов частей, на которые пра­вильная треугольная пирамида делится плоскостью, проходя­щей через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.

251. Решите задачу 249 для правильной четырехугольной пирамиды.

252. Площади оснований усеченной пирамиды относятся, как 1 : 49. Площадь сечения, параллельного плоскостям осно­ваний, равна полу сумме площадей оснований. Как относятся объемы частей, на которые это сечение разделило усеченную пирамиду?

Объем цилиндра

253. Бездымный порох изготовляется в виде цилиндра, в котором 7 цилиндрических каналов с осями, параллельными оси цилиндра, и радиусами, в 11 раз меньшими радиуса ци­линдра (рис. 73). Какая часть пороха сгорит после того, как горение перестанет быть прогрессивным? 100

254. Корыто полуцилиндрической формы наполнено водой. Какая часть воды выльется, если корыто наклонить на 30° так, чтобы образующие цилиндра оставались горизонтальными?

255. Какой из вписанных в данную сферу цилиндров имеет наибольший объем?

Объем конуса

256. А.В == 10 см и СВ •= 14 см— хорды основания конуса, вершина которого М. Плоскости МАВ и МАС наклонены к плос­кости основания конуса под углами 30° и 45°. Определите объем конуса.

257. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса соответственно равны 5,10,13 см. Построены два конуса, у кото­рых вершины — центры оснований усеченного конуса, а осно­вания совпадают с основаниями усеченного конуса. Найдите объем общей части этих конусов.

258. Около треугольной пирамиды, у которой периметры боковых граней 180, 194, 196 см, описан конус. Зная, что высота конуса лежит на одной из боковых граней пирамиды, опреде­лите объем конуса.

259. Образующая конуса I. Какую наибольшую величину может иметь его объем?

Объем тела вращения

260. Равносторонний треугольник периметра Р вращается вокруг прямой, которая находится в плоскости треугольника, проходит через его вершину вне треугольника под углом 15° к его стороне. Определите объем тела вращения.

261. Найдите объем тела, образованного вращением квад­рата со стороной а вокруг прямой, которая находится в плос­кости квадрата, проходит через его вершину вне квадрата под углом ст к стороне квадрата.

262. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 и 89 см, а диагонали относятся, как 41 : 50, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объем тела вращения.

263. Найдите объем тела, образованного вращением ромба со стороной 15 см и отношением диагоналей 3 : 4 вокруг прямой, которая проходит в плоскости ромба через вершину острого угла перпендикулярно стороне ромба.

264. Равнобедренный треугольник с основанием 30 см и высотой 20 см вращается вокруг боковой стороны. Найдите объем тела вращения.

Объем шара и его сегмента

265. Расстояние между центрами трех шаров, которые по­парно касаются,— 6, 8, 10 см. Определите объемы этих шаров.

266. Четыре шара радиуса Л расположены так, что каждый касается остальных. Найдите объем шара, который касается всех этих шаров.

267. Найдите объем шара, вписанного в тело, образованное вращением прямоугольного треугольника с катетами 21 и 28 см вокруг гипотенузы.

268. Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если отношение объема конуса к объему вписанного шара:

а) 9 : 4; б) 8 : 8.

269. В цилиндр вписан конус, а в конус — шар. Объемы конуса и шара вместе составляют 40 % объема цилиндра. Найдите величину угла при вершине осевого сечения ко­нуса.

270. В цилиндр вписана правильная треугольная пирамида, а в нее — шар. Зная, что объем шара в 24 раза меньше объема цилиндра, найдите плоский угол при вершине пира­миды.

271. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду, грани которой лежат на координатных плоскостях и ва плоскости 12з; + Зу + 42 — 24 == 0.

272. В шар вписаны равносторонний цилиндр и равносто­ронний конус. Докажите, что У^,== -\/Ущ • Уу .

273. Около шара описаны равносторонний цилиндр и равно­сторонний конус. Докажите, что Уц == "УКи • у» •

274. Докажите, что объем шарового сегмента равен яй2 (л — -з- )> где и — радиус шара, а Н — высота сегмента.

275. В конус, у которого радиус основания 6 см, а образую­щая 10 см, вписан шар. Через линию касания этих тел прове­дена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит шар.

276. Шар радиуса 9 см плавает в воде, высота выступаю­щей из воды части 6 см. Найдите плотность материала, из кото­рого сделан шар.

277. Сосуд в форме полушара наполнен водой. Какая часть воды выльется, если сосуд наклонить на: а) 30°; б) 45°?

278. Высота равностороннего конуса равна Н и является диаметром шара. Найдите объем той части шара, которая лежит вне конуса.

Площадь поверхности цилиндра

279. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Боковые ребра являются осями цилиндрических поверхностей

радиуса -^-. Вычислите площадь поверхности тела, ограничен­ного названными цилиндрическими поверхностями и основа­ниями призмы.

102

280. В цилиндр вписана четырехугольная призма, у которой периметры боковых граней 30, 45, 56, 64 см. Зная, что одно из диагональных сечений призмы содержит ось цилиндра, най­дите площадь полной поверхности цилиндра.

281. Длина ребра куба а. Ось равностороннего цилиндра лежит на диагонали куба. Каждая окружность основания цилиндра касается трех граней куба. Найдите объем и площадь поверхности цилиндра.