Конус

158. В равносторонний конус, образующая которого I, впи­сана правильная шестиугольная призма, боковая грань кото­рой — квадрат. Найдите площади диагональных сечений призмы.

159. Диагональ октаэдра с ребром а является высотой конуса, на поверхности которого находятся 4 ребра октаэдра (рис. 67). Найдите площадь осевого сечения конуса.

160. Радиус основания конуса 9 см, высота 7 см. Какую наибольшую площадь может иметь сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?

161. Наибольшая возможная площадь сечения конуса плос­костью, проходящей через вершину конуса, вдвое больше пло­щади осевого сечения. Найдите угол между образующей и плос­костью основания конуса.

162. В конус вписана правильная треугольная призма, все ребра которой равны а. Четыре вершины призмы лежат на

окружности основания, а две на боковой поверхности конуса (рис. 68). Найдите высоту конуса.

163. Ребро куба АВСВА\В\С\В\ равно а. Диагональ АС\ со­держит высоту равностороннего конуса с вершиной А. Окруж­ность основания конуса касается трех граней куба с общей точ­кой С1. Найдите образующую конуса.

164. Основание конуса находится на грани АВСВ куба АВСВА\В\С\В\, у которого ребро а. Вершина конуса находится в центре грани А\В\С\В\. Найдите радиус основания конуса, зная, что боковая поверхность касается прямой, которая про­ходит через: а) В\ и середину ВС; б) В и середину ВС\; в) сере­дины ВС и ВЁ1 (рис. 69).

Усеченный конус

165. Какую фигуру образуют середины диагоналей всех осевых сечений усеченного конуса?

166. Какую фигуру образуют середины всех отрезков, у каж­дого из которых концы находятся на окружностях оснований усеченного конуса?

167. Радиусы оснований усеченного конуса 25 и 16 см. В осе­вое сечение этого усеченного конуса можно вписать окружность. Определите ее радиус.

168. Диагональ осевого сечения усеченного конуса делится

осью усеченного конуса на части в 13 — и 26 — см. Зная,

что образующая усеченного конуса 26 см, найдите радиусы оснований.

169. Два конуса, у которых радиусы оснований 10 и 15 см, имеют общую высоту, их плоскости оснований не совпадают. Найдите длину окружности, по которой пересекаются поверх­ности этих конусов.

Сфера и шар

170. Какую фигуру образуют основания перпендикуляров, опущенных из данной точки А на все плоскости, проходящие через данную точку В?

171. Из точки М к данному шару можно провести три взаим­но перпендикулярные касательные. Какую фигуру образуют все такие точки М?

172. Какую фигуру образуют вое точки, удаленные на о от данной сферы радиуса Ь?

173. Какую фигуру образуют центры всех сфер радиуса В, касающихся: а) данной плоскости 6^ б) двух данных плоскостей?

174. Даны плоскость б и точка М вне ее. Какую фигуру обра­зуют центры сфер радиуса В, которые проходят через точку М и касаются плоскости б?

175. Докажите, что касательные, проведенные из данной точки к данной сфере, имеют равные длины.

176. Плоскость 6 касается шара в точке А. На продолжении диаметра АВ = а взята такая точка С, что ВС == Ь, в ней поме­щен точечный источник света. Найдите площадь тени шара на плоскость 6.

177. Диаметры АВ, СВ, ЕР сферы взаимно перпендикуляр­ны. Каждый из них разделен на п равных частей, через точки деления проходят плоскости, перпендикулярные к этому диаметру. На сколько частей эти плоскости разделили сферу, если: а) п == 4; б) п == 6; в) п --=- 5; г) п == 8?

178. В шаре радиуса 18 см проведены два взаимно перпен­дикулярных сечения, радиусы которых откосятся, как 2 : 3. Зная, что общая хорда этих сечений 2 см, найдите площади сечений.

179. В шаре построены два взаимно перпендикулярных сечения, площади которых 185л и 320я см2. Определите радиус шара, если общая хорда этих сечений имеет длину 16 см.

180. Изобразите вписанную в сферу треугольную пирамиду, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны.

181. В сферу радиуса Н вписана правильная шестиугольная призма. Радиус сферы, проведенный в вершину призмы, обра­зует с плоскостью боковой грани угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

182. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды — прямой, сторона основания а. Найдите радиус описанной сферы.

183. Докажите, что радиус сферы, описанной около пирами-

ды, у которой высота Н, а каждое боковое ребро I, равен —. т

Установите, при каком соотношении между I и Н центр описан­ной сферы находится внутри пирамиды.

184. У треугольной пирамиды МАВС: МА == ВС ===16 см, МВ == АС =з 19 см, МС == АВ == 21 см. Определите радиус опи­санной сферы.

185. Радиусы окружностей, описанных около основания и около боковой грани правильной треугольной пирамиды, 8 и 7 см. Найдите радиус описанной сферы.

186. В прямую четырехугольную призму можно вписать шар. Верно ли, что суммы площадей ее противолежащих боко­вых граней равны?

187. Скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно равны. Докажите, что центры описанной и вписанной сфер совпадают.

188. Все ребра четырехугольной пирамиды равны а. Найди­те радиус сферы, которая касается всех ребер пирамиды.

189. Каждое ребро тетраэдра имеет длину а. Найдите ра­диус сферы, которая касается всех ребер тетраэдра.

190. В конус, у которого радиус основания 9 см, а образую­щая 15 см, вписан шар. Найдите длину линии, по которой касаются их поверхности.

95

Сфера и ее уравнение

191. Радиусы двух шаров 17 и 25 см. Длина линии, по ко­торой пересекаются поверхности шаров 30л см. Определите рас­стояние между центрами шаров.

192. Имеется обломок шара. На основании каких построе­ний и измерений вы могли бы определить его радиус?

193. Установите взаимное расположение сфер х2 + у2 + + г2 = 4 и х2 + у2 + г2 - 24ж - 12у + 16г - 168 = 0.

194. Установите взаимное расположение сферы х2 + у2 + 4- 22 == 16 и плоскости 2х — 2у + 2 — 12 == 0.

195. Напишите уравнение сферы, которая проходит через точки (2; 3; 4) и (3; —1; 5) и касается плоскости ху.

Объем прямоугольного параллелепипеда

196. Как, разрезав на две части, сложить куб из прямо­угольного параллелепипеда, измерения которого: а) 4, 6, 9 см;

б) 9, 12, 16 см; в) 16, 20, 25 см?

197. На какое наименьшее число частей можно разрезать куб, чтобы из этих частей можно было сложить призму, осно­вание которой: а) прямоугольная трапеция; б) равнобокая тра­пеция?

198. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у ко­торого расстояния от центра до ребер равны 13, 20, 21 см.

199. На ребрах АА\ и ВВ\ прямоугольного параллелепипеда АВСВА\В\С\В\ даны точки М и N. Постройте плоскость, которая проходит через эти точки и делит параллелепипед на равные части.

200. Решите задачу 199 для случая, когда точки даны на смежных боковых гранях.

201. Длины ребер четырех кубов (в сантиметрах) выражены последовательными целыми числами. Объем одного куба равен сумме объемов остальных. Определите длины ребер этих кубов.

202. Докажите, что из всех прямоугольных параллелепипе­дов с данной длиной диагонали наибольший объем имеет куб, используя теорему: «Произведение трех положительных чисел, сумма которых постоянна, имеет наибольшую величину, когда эти числа равны».