Атомические разложения функций в пространстве Харди

Установим, что для произвольной функции величина не превосходит (по порядку) значения максимальной функции *) в точке х, т.е.

, . (59)

Нам понадобится

утверждение 3.

а) если функция , то для любого

;

б) если функция , то ,

где - постоянная, зависящая только от числа р.

Пусть и . По определению интеграла Пуассона

Положим . Тогда будем иметь

и, в силу неравенства , , и периодичности ,

. (60)

Так как обе функции и положительны при и отрицательны при ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что , мы получим

. (61)

Для имеют место оценки

,

.

Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что

при , (62)

если . Пусть , тогда

.

В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции , ,

, (63)

где - постоянная, зависящая только от .

Теорема 7.

Пусть (), и

, .

Тогда и

. (64)

Доказательство.

Утверждение теоремы 7 в случае, когда , есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь . По теореме 6 , где , , если и . Из функции можно извлечь корень: существует функция такая, что , и, следовательно из (64) при р=2, получим