. (36)

Доказательство:

Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.

Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :, имеют место равенства

, (37)

Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что

, , ,

. Следовательно, равенства (37) выполняются, если - произвольный тригонометрический полином.

Пусть фиксировано. Для произвольной функции и положим

, ,

где , , .

Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций (наличие этих свойств мы установим ниже):

1) , , ;

2) при функции , , сходятся по мере к

;

3) , , ,

где С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).

Легко видеть, что , где , поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций ,:

по мере . (38)

Для произвольного найдем тригонометрический полином такой, что

, . (39)

Тогда согласно 3)

(40)

и при

. (41)

Так как - полином, то и

. (42)

Учитывая, что , и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим , ,

что вместе с (38) доказывает равенство (37).

Докажем теперь, что для произвольной функции справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как .

Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное и представим функцию в виде

, , . (43)

Из непрерывности функции легко следует, что

равномерно по . Поэтому при достаточно больших с учетом (43) мы будем иметь

, (44)

Кроме того, в силу 1) и (43)

;

из этого неравенства и (44) вытекает, что при

.

Для доказательства оценки 3) заметим, что

,

где . Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции и учитывая, что , получим 3).

Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).

Пусть (,,) и

. Тогда по теореме 4 , и надо доказать только, что для п.в. .