б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на . Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции

(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на , а следовательно, найдется функция с

, (101)

для которой

, . (102)

В частности, равенство (102) выполняется, если - произвольный атом. Докажем, что

. (103)

Пусть I - произвольный обобщенный интервал, - произвольная функция с . Тогда функция

, ,

является атомом и в силу теоремы 8 . Поэтому

.

Подбирая в последнем неравенстве функцию оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I

,

что с учетом соотношения доказывает оценку (103).

Таким образом, для значение функционала совпадает со значением ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство плотно в , то, следовательно,

для любой функции .

Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.

Литература

1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.

3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.

4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1961. —936с.

5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.

6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.

7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с.

8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.

*) Мы считаем , что f (x) = 0 , если |x| > p .

*) Так как функция определялась для функций , заданных на , то мы дополнительно полагаем , если ; при и при .

*) В силу условий а) и в) в определении 9 , , поэтому ряд (70) сходится по норме пространства и п.в.

*) Возможен случай, когда при .