Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при и

, .

С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого ,

, . (45)

Согласно теореме 1

. (46)

Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости () следует сходимость по мере функций к . Таким образом,

по мере (),

а потому , учитывая (46), для п.в. .

Теорема 5 доказана.

Следствие 1.

а) Если , то ;

б) если и , то ;

в) если , , , , то

. (47)

Доказательство.

Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.

Чтобы получить в), положим

,

.

Согласно теореме 5 , , а следовательно, . Но тогда (для п.в. ) , и из определения класса мы получим, что

. (48)

Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).

Замечание 3.

Если , то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство совпадает с . Для р=1 это не так. Пространство уже, чем , и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций , для которых и .

- банахово пространство с нормой

. (49)

Полнота с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства : если при , то , , , и так как по мере при , то и при .

Замечание 4.

Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда , , , .

Отметим также, что, взяв в (47) вместо функцию и учитывая б), мы получим

, если . (50)

§I.4.Произведение Бляшке,

нетангенциальная максимальная функция.

Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - удовлетворяет условию

, , . (51)

Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

. (52)

Для фиксированного , , при имеет место оценка

. (53)

Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге , т.е. функция аналитична в единичном круге и имеет нули в точках , , и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством ( , ), мы находим