По формуле треугольника и .

Так как X – середина ВС, М – середина CD, то и , и получаем систему:

, откуда

Ответ: 4.

Задача. Ребра СА, СВ, СС, треугольной призмы ABCA1В1С1 равны, соответственно 2, 3 и 4 образуют между собой углы ACB = 90°, ACС1 = 45° и BCC1 = 60°. Найдите объём призмы.

Решение.

Пусть отрезок С1О является высотой данной призмы. Тогда

Для того, чтобы найти высоту С1О, выберем в качестве базиса векторы

и составим

таблицу умножения.

Разложим вектор C1O по векторам . Получим: , где , а .

Таким образом .

Коэффициенты х, у находим из условий перпендикулярности вектора C1O с векторами .

.

Следовательно,

Значит С1О =

Тогда V = 3·C1O = 3·2 = 6

Ответ: 6.

С помощью векторов можно решать не только геометрические задачи, но и доказывать алгебраические неравенства.

I. Доказать неравенство

Доказательство:

Рассмотрим векторы и .

Их скалярное произведение

Так как , , то, учитывая неравенство , получим .

II. Докажем, что для любых неотрицательных чисел a, b, c справедливо неравенство:

Доказательство:

Рассмотрим векторы и . Их скалярное произведение: , а длины и . Отсюда, учитывая неравенство , получаем

.