б) Из четырех векторов существует три компланарных, а следовательно, три линейно зависимых вектора. Как и выше, вся система векторов будет линейно зависимой.

в) Из четырех данных векторов никакие три не являются компланарными. В этом случае никакие три, а следовательно, и никакие два вектора из числа данных не являются линейно зависимыми.

Пусть .

Обозначим плоскость (OBC) через П1, а плоскость (AOD) через П2.

(Такие плоскости существуют, так как пара векторов и и пара векторов и - пары линейно независимых векторов). Плоскости П1 и П2 имеют общую точку О. Тогда эти плоскости имеют общую прямую m, проходящую через эту точку О.

В плоскости П2 построим параллелограмм OPDR с диагональю OD. Тогда , где . Вектор , лежащий в плоскости П1 является линейной комбинацией векторов и : . Тогда , или . Отсюда, по теореме 5.1., векторы линейно независимы.

Итак, множество геометрических векторов трехмерного евклидового пространства представляет собой трехмерное векторное пространство.

2. Пространство арифметических векторов длины n представляет собой n-мерное векторное пространство.

Докажем это.

Прежде всего, нетрудно установить существование n линейно независимых векторов. Возьмем векторы:

и докажем, что они линейно независимы. В самом деле, если допустить, что эти векторы линейно зависимы, тогда на основании теоремы 5.1. хотя бы один из них есть линейная комбинация остальных. Пусть, например, есть линейная комбинация остальных:

(1)

тогда

.

Отсюда

(2)

Система (2) является несовместной. Следовательно, не существует такого выбора коэффициентов , чтобы равенство (1) удовлетворялось. Таким образом, линейная независимость системы векторов доказана.

Докажем теперь, что всякие n+1 арифметические вектора линейно зависимы. Пусть имеется система из n+1 векторов:

Выясним, существуют ли числа , не все равны нулю, такие, что

(3)

Равенство (3) эквивалентно системе:

(4)

Получим систему однородных уравнений, в которых число уравнений n, а число неизвестных m=n+1. Такая система всегда имеет ненулевое решение и, следовательно, система векторов является линейно зависимой.

Контрпример. Рассмотрим совокупность всех непрерывных функций на сегменте [0; 1]. Нетрудно убедиться, что в данном случае мы имеем дело с векторным пространством над полем действительных чисел R. Пусть n – произвольное натуральное число.

Положим:

Докажем, что система векторов является линейно независимой. Запишем равенство.

.

Положив последовательно , , получим

Таким образом, равенство

влечет за собой равенство

Отсюда, векторы линейно независимы. Так как n – любое натуральное число, то, следовательно, векторное пространство всех непрерывных функций заданных на отрезке [0; 1] не имеет конечной системы линейно независимых векторов, для которых всякая система, содержащая на один больше векторов, была бы линейно зависима. Поэтому в этом пространстве нельзя ввести понятие конечной размерности. Такие пространства называются бесконечными.

§4. Аксиоматика Евклидово-векторного пространства

n-мерное векторное пространство называется евклидовым, если оно удовлетворяет дополнительной группе аксиом (называемыми аксиомами скалярного произведения). Эти аксиомы вводят в n-мерное векторное пространство новое понятие – понятие скалярного произведения двух векторов.

Аксиомы:

XII. Для любых двух векторов и существует единственное число a, называемое их скалярным произведением.

Обозначение: - скалярное произведение векторов и .

Таким образом,

Аксиома XII утверждает по сути дела, существование отображения VxV®R, ставшего в соответствие каждой паре векторов единственное число из R.

Это отображение называется скалярным умножением двух векторов.

XIII. Скалярное умножение двух векторов коммутативно:

XIV. Скалярное умножение ассоциативно относительно умножения вектора на число: