Методические основы уровневой дифференциации при обучении алгебре в классах с углубленным изучением математики

За один день вместе они съедают копны сена, т.е. всю.

Ответ: 1 день.

Функции

Наибольшее значение при . Возвращаясь к , получим, что при

Ответ: наибольшее значение .

Почти вся теория квадратного трехчлена основывается на приеме, называемом «выделение полного квадрата»:

- дискриминант квадратного уравнения.

Если , то уравнение имеет два корня,

,то уравнение имеет1 корень (2 совпадающих);

, уравнение не имеет действительных корней.

11. Доказать, что при любом уравнение

имеет решения.

Процесс нахождения дискриминанта и доказательства, что он положителен достаточно трудоемкий, поэтому попробуем другой метод решения.

Пусть .

при любом .

Т.о. уравнение всегда имеет решение, причем если , то уравнение имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий неравенству .

12. Пусть и корни уравнения . Выразить через и .

Решение.

Необходимо выразить через и :

По теореме Виета

тогда

Ответ: .

13. Определить все значения параметра , при которых уравнение имеет 1 корень.

Решение.

В условие не сказано, что рассматривается квадратное уравнение, поэтому рассмотрим случай

Остальные значения параметра получим из уравнения .

Ответ:

Простейший прием нахождения наибольших значений, основанный на свойствах квадратичных функций состоит в том, что исследуемая функция при помощи преобразований или замены переменной приводится к квадратичной, после чего выделяется полный квадрат.

14.Найти наибольшее значение функции

Решение.

Положим , тогда Отсюда Итак, после замены получим, что надо найти наибольшее значение

15.Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение.

Рассмотрим данное неравенство как уравнение с неизвестным и параметром .

После преобразований получим

Для того, чтобы уравнение имело решение необходимо и достаточно, чтобы

Отсюда наименьшее значение функции , наибольшее .

Ответ:

Как видно из решений последних задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений иногда удобнее рассматривать функцию как уравнение с неизвестным , в котором необходимо установить при каких это уравнение имеет решение. Рассмотрим еще один пример, в котором работает эта идея с небольшими вариациями.