5.1. Система дифференциальных уравнений Навье - Стокса

При= const и= const система уравнений значительно упростятся:

Пренебрегая величинами вторых вязкостейи считая жидкость несжимаемой

(р = const), уравнения Навье - Стокса запишутся в следующем виде:

К уравнениям Навье - Стокса в качестве дополнительного уравнения принимается уравнение неразрывности. Учитывая громоздкость и трудность прямого решения задачи в практической деятельности (в случаях, когда это считается допустимым) решение дости­гается первым методом (по аналогии с движением идеальной жидкости).

5.2. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости

Выделим в элементарной струйке жидко­сти двумя сечениями 1 - 1 и 2 - 2 отсек жид­кости. Отсек жидкости находится под дейст­вием сил давленияи сил тяжести на жидкость в отсеке действуют также силы инерции самой движущейся жидкости, а также силы трения, препятствующие перемещению жидкости. В результате действия сил внутрен­него трения часть механической энергии жид­кости расходуется на преодоление возникающих сопротивлений. По этой причине вели­чины гидродинамических напоров в сечениях будут неодинаковы. Естественно, что //2 .Тогда разность гидродинамических напоров в крайних сечениях отсеков будут как раз характеризовать потери напора на преодоление сил трения. Эта величина носит название потерь напора на трение

В этом случае уравнение Бернулли примет следующий вид:

- потери удельной энергии (преобразование потенциальнойэнергии жидкости в тепловую энергию при трении).

Величинаносит название гидравлического уклона.

5.3. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

При массовом расходе в живом сечении элементарной струйки . кинети-

ческая энергия жидкости проходящей через это сечение в единицу времени будет равна:

Суммируя величины кинетической энергии всех элементарных струек проходящих через живое сечение потока жидкости, найдём полную кинетическую энергию для всего

д

живого сечения потока

С другой стороны, полагая, что скорости во всех элементарных струйках одинаковы и равны средней скорости движения жидкости в живом сечении потока, таким же образом вычислим полную кинетическую энергию в этом же живом сечении потока. ' '

Вполне очевидно, что величины этих энергий не равны, т.е.

Тогда коэффициент, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению (коэффициент Кориолиса) можно определить как соотношение кинетических энергий:

т?

Внося эту поправку в уравнение для элементарной струйки жидкости, получим урав­нение для потока конечных размеров. Практически а= 1.0- 2,0.

Кроме коэффициента Кориолиса, учитывающего неравномерность распределения кинетической энергии по живому сечкнию потока, существует аналогичный показа­тель для величины количества движения, коэффициент Буссинэ

Секундное количество движения для потока жидкости можно определить как ин­тегральную сумму количества движения элементарных масс жидкости, протекающих через бесконечно малые площадки ds в пределах площади всего живого сечения S, т.е.

Аналогичным образом, величина количества движения жидкости в живом сече­нии при условии равномерного распределения сколостей по сечению потока будет:

Отсюда коэффициент Буссинэ определится следующим образом:

В связи с тем, что величина коэффициента количества движения (коэффициент Буссинэ) невелика и не превышает 1,05, поправкой в расчётах обычно пренебрегают,

5.4. Гидравлические сопротивления

Потери удельной энергии в потоке жидкости, безусловно, связаны с вязкостью жид­кости, но сама вязкость - не единственный фактор, определяющий потери напора. Но можно утверждать, что величина потерь напора почти всегда пропорциональны квадрату средней скорости движения жидкости. Эту гипотезу подтверждают результаты большин­ства опытных работ и специально поставленных экспериментов. По этой причине потери напора принято исчислять в долях от скоростного напора (удельной кинетической энергии потока). Тогда:

Потери напора принято подразделять на две категории:

потери напора, распределённые вдоль всего канала, по которому перемеща­ется жидкость (трубопровод, канал, русло реки и др.), эти потери пропорцио­нальны длине канала и называются потерями напора по длине сосредоточенные потери напора: потери напора на локальной длине потока (достаточно малой по сравнению с протяжённостью всего потока). Этот вид потерь во многом зависит от особенностей преобразования параметров пото­ка (скоростей, формы линий тока и др.). Как правило, видов таких потерь до­вольно много и их расположение по длине потока зачастую далеко не зако­номерно. Такие потери напора называют местными потерями или потерями напора на местных гидравлических сопротивлениях. Это вид потерь напора

также принято исчислять в долях от скоростного напора

Тогда полные потери напора можно представить собой как сумму всех видов потерь напора:

Оценка величины местных потерь напора практически всегда базируются на резуль­татах экспериментов, по результатам таких экспериментов определяются величины коэф­фициентов потерь. Для вычисления потерь напора по длине имеются более или менее на­дёжные теоретические предпосылки, позволяющие вычислять потери с помощью при­вычных формул.