∙ Y(0) = ,

то есть векторY(0) находится из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков U и M.

Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:

N ∙ Y(0) = n ,

где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а векторn неизвестен.

Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:

∙ Y(1) = .

Запишем Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:

∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = ,

∙ K(1←0) ∙Y(0) = - ∙ Y*(1←0),

∙ K(1←0) ∙Y(0) = ,

∙ K(1←0) ∙Y(0) = .

Запишем векторY(0) через обратную матрицу:

Y(0) =∙

и подставим в предыдущую формулу:

∙ K(1←0) ∙∙ = .

Таким образом, мы получили систему уравнений вида:

В ∙ = ,

где матрица В известна, векторы u и s известны, а векторы m и t неизвестны.

Разобьем матрицу В на естественные для нашего случая 4 блока и получим:

∙ = ,

откуда можем записать, что

В11 ∙ u + B12 ∙ m = s,

B21 ∙ u + B22 ∙ m = t.

Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:

m = B12∙ (s – B11∙ u).

А искомый вектор n вычисляется через вектор t:

t = B21 ∙ u + B22 ∙ m,

n = t + N ∙ Y*(1←0).

В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается выполнять поочередное построчное ортонормирование.

Запишем приведенную выше формулу

∙ K(1←0) ∙∙ =

в виде:

∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙∙ = .

Эту формулу можно записать в виде разделения левой части на произведение матрицы на вектор:

[∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙∙ } =

[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор

Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:

[∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙∙ } =

Здесь следует сказать, что подвектор t подвергать преобразованию не нужно, так как невозможно, так как его первоначальное значение не известно. Но подвектор t нам оказывается и не нужен для решения задачи.

Далее запишем:

[[∙ K(1←x2) ]∙ K(x2←x1)] ∙ { K(x1←0) ∙∙ } =