Y*(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ Y*(x←x) + K(x←x) ∙ Y*(x←x) + Y*(x←x).

То есть именно так (по своеобразным рекуррентным формулам) и вычисляется частный вектор – вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, то есть так вычисляется, например, частный вектор Y*(x←x) всего участка (x←x) на основе вычисленных векторов Y*(x←x), Y*(x←x), Y*(x←x) подучастков (x←x), (x←x), (x←x).

4.1. Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования.

Метод обсчитан на компьютерах. По нему уже сделано 3 кандидатских физ-мат диссертации.

Метод подходит для любых краевых задач. А для «жестких» краевых задач показано, что метод считает быстрее, чем метод С.К.Годунова до 2-х порядков (в 100 раз), а для некоторых «жестких» краевых задач не требует ортонормирования вовсе. Смотри:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) .

Или можно записать:

Y(0) = K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) .

Подставляем это выражение для Y(0) в краевые условия левого края и получаем:

U∙Y(0) = u,

U∙[ K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ] = u,

[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u -U∙Y*(0←x) .

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:

U∙ Y(x) = u ,

где U= [ U∙ K(0←x) ] и u= u -U∙Y*(0←x) .

Далее запишем аналогично

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x)

И подставим это выражение для Y(x) в перенесенные краевые условия точки x

U∙ Y(x) = u,

U∙ [ K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ] = u ,