= K(x- x) ∙ (EF(t) dt + A∙(x- t) ∙ F(t) dt + A/2! ∙(x- t)∙ F(t) dt + … ) .

Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A=const.

ВекторF(t) может рассматриваться на участке (x- x) приближенно в виде постоянной величины F(х)=constant, что позволят вынести его из под знака интеграла, что приводит к совсем простому ряду для вычислений на рассматриваемом участке.

Для случая дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в приведенной выше формуле для каждого участка может использоваться осредненная матрица А: A=А(х) коэффициентов системы дифференциальных уравнений.

Приведем (итерационные или рекуррентные) формулы вычисления вектора частного решения, например, Y*(x←x) на рассматриваемом участке (x←x) через вектора частного решения Y*(x←x), Y*(x←x), Y*(x←x) соответствующих подучастков (x←x), (x←x), (x←x).

Имеем:

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ,

Также имеем формулу для отдельного подучасточка:

Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt.

Можем записать:

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ,

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) .

Подставим Y(x) в Y(x) и получим:

Y(x) = K(x←x) ∙ [K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x)] + Y*(x←x) =

= K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ Y(x) + K(x←x) ∙ Y*(x←x) + Y*(x←x).