Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x).

То есть, интегрируя Рунге-Куттом от полностью нулевого вектора неоднородную систему дифференциальных уравнений, мы получим таки некий вектор частного решения, но не факт, что этот вектор уложиться без поправок в формулу:

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x).

То есть касательно частного вектора Y*(x←x) тут тоже все в Ваших руках – можете проверить численно разные численные методы типа Рунге-Кутта и может быть можете придумать коррекцию (если она потребуется) и можно публиковать статьи.

17. 19 сентября 2010: еще об ускорении вычислений – применение «параллельных» вычислений.

В современной математике для современных компьютеров разрабатываются и применяются так называемые методы «параллельных вычислений». Особенно для промышленных суперкомпьютеров на основе многопроцессорной технологии. Эти методы сильно ускоряют вычисления для практических задач в НИИ и КБ.

Приведенные здесь методы как будто специально предназначены для «параллельных вычислений» даже без дополнительной модификации.

В приведенных методах используется матрица Коши и ее свойство перемножаемости:

K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x).

Так вот, очевидно, что множители K(x←x), K(x←x), … , K(x←x), K(x←x), входящие в формулу для вычисления матрицы Коши K(x←x), вычисляются полностью независимо друг от друга и поэтому могут вычисляться «параллельно» без привлечения дополнительных математических приемов.

То есть отдельные матрицы Коши на отдельных участках (для случая системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами) могут вычисляться «параллельно» и например, просто на разных процессорах многопроцессорного компьютера какого-нибудь КБ (конструкторского бюро).

Аналогично «параллельно» может вычисляться и вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, так как подвектора Y*(x←x), из которых складывается частный вектор, вычисляются полностью независимо, то есть «параллельно»: Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt =

= K(x- x) ∙(E + A(x- t) + A(x- t)/2! + … ) ∙ F(t) dt =

= K(x- x) ∙ (EF(t) dt + A∙(x- t) ∙ F(t) dt + A/2! ∙(x- t)∙ F(t) dt + … ) ,

где A=А(х) – матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений, вычисленная в приближении ее постоянства на малом подучастке (x- x) и вычисленная на малом подучастке (x- x), например, в начальной точке xрассматриваемого подучастка (x- x). Хотя матрица А подучастка может быть вычислена и, например, в точке xподучастка (x- x): A=А(x).