При получении (8) учитывалось, что:

= = A + Ax + Ax/2! + … = A e.

Из (8) следует, что:

Ya(x) = c + . (9)

Подставим в (7) и получаем:

Y(x) = ec + e. (10)

Положив x=x в (10) получим:

c = eY(x). (11)

Окончательно получаем:

Y(x) = eY(x) + e. (12)

ЛИТЕРАТУРА

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 548 с.
2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том II, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962 г., 635 с.

Смотрите мои сайты:

www.vinogradov-design.narod.ru/math.html

www.vinogradov-best.narod.ru

www.AlexeiVinogradov.narod.ru

www.VinogradovAlexei.narod.ru

www.Vinogradov-Alexei.narod.ru

www.Vinogradov-math.narod.ru

Пишите мне:

AlexeiVinogradov@yandex.ru

13. Метод Вольтерра. (P.S. 28 февраля 2010):

Мой отец (доктор физико-математических наук профессор МГТУ им. Баумана Юрий Иванович Виноградов) предложил использовать и другую (гораздо более эффективную по времени счета) матричную формулу вместо матричной экспоненты – что-то на основе Вольтерра. Это есть в статье в журнале «Математическое моделирование»:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

14. P.P.S. Метод для численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Читали нам как-то в бауманке численные методы решения дифференциальных уравнений. И, кажется, приводили аналитический вывод формул одного из авторов. Или это просто мелькнуло в учебнике (я имею в виду вывод формул). Уже не очень помню. Запомнилась только собственная мысль, что людям вообще-то проще всего даются геометрические аналогии и выводы, сделанные на основе понятных геометрических картинок. Ну, вот тогда я и нарисовал один из вариантов численного решения дифференциальных уравнений и помню даже перевёл геометрические картинки в буквенные формулы приближённых вычислений. Сейчас повторно выводить буквенные формулы для численного интегрирования дифференциальных уравнений мне не кажется интересным. А вот привести картинки тех студенческих мыслей вполне можно для обсуждения.

Далее идёт картинка с текстом и с рисунками численного интегрирования:

15. 17 сентября 2010: Забыл ранее кое-что добавить – добавляю сегодня насчет обратной матрицы.

Для однородной системы дифференциальных уравнений имеем:

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x).

Можем записать:

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) и

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x).

Подставляем одну формулу в другую и получаем:

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ Y(x),

то есть получаем:

Y(x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ Y(x),

но последнее возможно только когда

K(x←x) ∙ K(x←x) = Е – единичная матрица,