[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор

Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:

[[∙ K(1←x2) ]∙ K(x2←x1)] ∙ { K(x1←0) ∙∙ } = .

И так далее.

В результате поочередного ортонормирования получим:

В∙ = ,

∙ = .

Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:

m = B12∙ (s– B11∙ u).

7. Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.

Эта формула обсчитана на компьютерах в кандидатской диссертации.

Рассмотрим проблему метода прогонки С.К.Годунова.

Предположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица A(x) коэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функция Y(x) будет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.

Тогда в методе прогонки С.К.Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде:

Y(x) = Y(x) c+ Y(x) c+ Y(x) c+ Y(x) c+ Y*(x),

или можно записать в матричном виде:

Y(x) = Y(x) ∙ c + Y*(x),

где векторы Y(x), Y(x), Y(x),Y(x) – это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор Y*(x) – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Здесь Y(x)=||Y(x), Y(x), Y(x),Y(x) || это матрица размерности 8х4, а c это соответствующий вектор размерности 4х1из искомых констант c,c,c,c.

Но вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов Y(x), а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений:

Y(x)=Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+

+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y*(x),

И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К.Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.